Определитель, детерминант матрицы

Вычислить определитель второго порядка

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}

По определению определитель второго порядка

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}

\(\ \Delta=5 \)

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка может быть вычислен с использованием правила треугольника или правила Сарруса.

Правило треугольника. Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

\(\ \left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{31} \cdot a_{12} \cdot a_{23}+a_{21} \cdot a_{13} \cdot a_{32}-a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13}-a_{21} \cdot a_{12} \cdot a_{33}-a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \)

Это правило можно схематически изобразить следующим образом.

ПРИМЕР 2

Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}

Согласно правилу треугольника определитель третьего порядка равен

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}

\(\ \Delta=49 \)

Правило Сарруса. Чтобы вычислить детерминант третьего порядка, мы добавим первые два столбца и умножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком плюс, если диагональ является главной или параллельной ему и взяв произведение с знаком минус, если диагональ равна стороны или параллели, мы получаем

ПРИМЕР 3

Вычислить определитель третьего порядка из примера 2 в соответствии с правилом Сарруса

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}

Согласно правилу Сарруса, необходимо написать первые два столбца этого определителя справа от вычисленного определителя и умножить диагональные элементы. Взяв эти произведения с соответствующими знаками, получим, что искомый определитель третьего порядка

\(\ \Delta= \begin{array}{|ccc|cc}

\(\ \Delta=49 \)

Вычисление детерминантов более высокого порядка

Для расчета детерминантов высших порядков используется метод разложения определителя в строке или столбце. Это позволяет нам представить детерминант квадратной матрицы как сумму произведений элементов любой из ее строк или столбцов для их алгебраических дополнений. В этом случае вычисление детерминанта n-го порядка сводится к вычислению детерминантов n-1-го порядка.

Теорема о разложении определителя на элементы строки. Детерминант матрицы \(\ \mathrm{A} \) равен сумме произведений элементов строки и их алгебраических дополнений.

\(\ \operatorname{det} A=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\ldots+a_{i n} A_{i n} \)

Теорема о разложении определителя на элементы столбца. Определитель матрицы \(\ \mathrm{A} \) равен сумме произведений элементов столбца и их алгебраических дополнений.

\(\ \operatorname{det} A=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\ldots+a_{n j} A_{n j} \)

ПРИМЕР 4

Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

а) выкладка на 1-й линии;

б) расширение на 1-й столбец

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}

а) По теореме о разложении определителя на элементы строки этот определитель разбивается на первую строку следующим образом

\(\ \Delta=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}+a_{14} A_{14} \)

С учетом формулы для вычисления алгебраических дополнений \(\ A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} \) Здесь \(\ M_{i j} \) является минором элемента \(\ a_{i j} \) , равным определителю, полученному из данного определителя, путем пересечения i-й строки и j-го столбца. затем

\(\ \Delta=2 \cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника \(\ \Delta=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}

б) По теореме о разложении определителя на элементы столбца этот определитель разбивается на первый столбец следующим образом

\(\ \Delta=a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+a_{31} A_{31}+a_{41} A_{41}=2 \cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}

\(\ +(-1) \cdot(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{ccc}

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника

\(\ \Delta=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}

\(\ \Delta=28 \)

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

детерминант не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;

при перестановке строк или столбцов знак детерминанта меняется на обратный;

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на диагонали. Например, для верхней треугольной матрицы

\(\ A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\

детерминантом является \(\ \operatorname{det} A=a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{n n} \)

ПРИМЕР 5

Вычислить определитель 4-го порядка, используя свойства определителя

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}

Приведем этот определитель, используя элементарные преобразования в верхнюю треугольную форму. Для этого добавьте первый, умноженный, соответственно, на 2, 3 и 4 на вторую, третью и четвертую строки.

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}

Измените вторую и третью строки в некоторых местах, а знак детерминанта изменится на противоположное

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}

Рядом с третьей строкой добавьте вторую, умноженную на (-5), а на четвертую добавьте вторую, умноженную на (-2). Получите

\(\ \Delta=-\left|\begin{array}{cccc}

Добавьте к последней строке третий, умноженный на \(\ (-38) \)

\(\ \Delta=-\left|\begin{array}{cccc}

Теперь определитель равен произведению элементов на главной диагонали

\(\ \Delta=-\left(1 \cdot 1 \cdot(-39) \cdot \frac{396}{39}\right)=396 \)

\(\ \Delta=396 \)