Определитель, детерминант матрицы

Вычислить определитель второго порядка

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {2} & {3}\end{array}\right| \)

По определению определитель второго порядка

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {2} & {3}\end{array}\right|=1 \cdot 3-2 \cdot(-1)=3+2=5 \)

\(\ \Delta=5 \)

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка может быть вычислен с использованием правила треугольника или правила Сарруса.

Правило треугольника. Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

\(\ \left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{31} \cdot a_{12} \cdot a_{23}+a_{21} \cdot a_{13} \cdot a_{32}-a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13}-a_{21} \cdot a_{12} \cdot a_{33}-a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \)

Это правило можно схематически изобразить следующим образом.

ПРИМЕР 2

Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-4} \\ {2} & {3} & {1} \\ {3} & {-1} & {2}\end{array}\right| \)

Согласно правилу треугольника определитель третьего порядка равен

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-4} \\ {2} & {3} & {1} \\ {3} & {-1} & {2}\end{array}\right|=1.3 \cdot 2+3 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot(-4) \cdot(-1)-3 \cdot 3 \cdot(-4)-2 \cdot 2 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot(-1)=49 \)

\(\ \Delta=49 \)

Правило Сарруса. Чтобы вычислить детерминант третьего порядка, мы добавим первые два столбца и умножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком плюс, если диагональ является главной или параллельной ему и взяв произведение с знаком минус, если диагональ равна стороны или параллели, мы получаем

ПРИМЕР 3

Вычислить определитель третьего порядка из примера 2 в соответствии с правилом Сарруса

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-4} \\ {2} & {3} & {1} \\ {3} & {-1} & {2}\end{array}\right| \)

Согласно правилу Сарруса, необходимо написать первые два столбца этого определителя справа от вычисленного определителя и умножить диагональные элементы. Взяв эти произведения с соответствующими знаками, получим, что искомый определитель третьего порядка

\(\ \Delta= \begin{array}{|ccc|cc}{1} & {2} & {-4} & {1} & {2} \\ {2} & {3} & {1} & {2} & {3} \\ {3} & {-1} & {2} & {3} & {-1}\end{array}=1 \cdot 3 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot 3+(-4) \cdot 2 \cdot(-1)-3 \cdot 3 \cdot(-4)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 2 \cdot 2=49 \)

\(\ \Delta=49 \)

Вычисление детерминантов более высокого порядка

Для расчета детерминантов высших порядков используется метод разложения определителя в строке или столбце. Это позволяет нам представить детерминант квадратной матрицы как сумму произведений элементов любой из ее строк или столбцов для их алгебраических дополнений. В этом случае вычисление детерминанта n-го порядка сводится к вычислению детерминантов n-1-го порядка.

Теорема о разложении определителя на элементы строки. Детерминант матрицы \(\ \mathrm{A} \) равен сумме произведений элементов строки и их алгебраических дополнений.

\(\ \operatorname{det} A=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\ldots+a_{i n} A_{i n} \)

Теорема о разложении определителя на элементы столбца. Определитель матрицы \(\ \mathrm{A} \) равен сумме произведений элементов столбца и их алгебраических дополнений.

\(\ \operatorname{det} A=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\ldots+a_{n j} A_{n j} \)

ПРИМЕР 4

Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

а) выкладка на 1-й линии;

б) расширение на 1-й столбец

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}{2} & {1} & {0} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} & {3}\end{array}\right| \)

а) По теореме о разложении определителя на элементы строки этот определитель разбивается на первую строку следующим образом

\(\ \Delta=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}+a_{14} A_{14} \)

С учетом формулы для вычисления алгебраических дополнений \(\ A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} \) Здесь \(\ M_{i j} \) является минором элемента \(\ a_{i j} \) , равным определителю, полученному из данного определителя, путем пересечения i-й строки и j-го столбца. затем

\(\ \Delta=2 \cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+1 \cdot(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {0} \\ {-1} & {1} & {3} \\ {-1} & {1} & {3}\end{array}\right|+0 \cdot(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}{3} & {2} & {0} \\ {-1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {3}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}{3} & {2} & {1} \\ {-1} & {0} & {1} \\ {-1} & {2} & {1}\end{array}\right|=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {0} \\ {-1} & {1} & {3} \\ {-1} & {1} & {3}\end{array}\right|-2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{3} & {2} & {1} \\ {-1} & {0} & {1} \\ {-1} & {2} & {1}\end{array}\right| \)

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника \(\ \Delta=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {0} \\ {-1} & {1} & {3} \\ {-1} & {1} & {3}\end{array}\right|-2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{3} & {2} & {1} \\ {-1} & {0} & {1} \\ {-1} & {2} & {1}\end{array}\right|=2(6+6+0-0-0-6)-(9-3+0-0+3-9)-2(0-2-2-0+2-6)= \)

б) По теореме о разложении определителя на элементы столбца этот определитель разбивается на первый столбец следующим образом

\(\ \Delta=a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+a_{31} A_{31}+a_{41} A_{41}=2 \cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+(-1) \cdot(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+ \)

\(\ +(-1) \cdot(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3}\end{array}\right|=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-3 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3}\end{array}\right| \)

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника

\(\ \Delta=2 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-3 \cdot\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {1} & {3} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {2} & {1} & {3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {3}\end{array}\right|=2 \cdot(6+6+0-0-0-6)- 3 \cdot(3+0+0-4-0-3)-(3+0+4-4-0-0)+(3+0+4-0-0-0)=28 \)

\(\ \Delta=28 \)

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

детерминант не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;

при перестановке строк или столбцов знак детерминанта меняется на обратный;

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на диагонали. Например, для верхней треугольной матрицы

\(\ A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {0} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {0} & {0} & {\dots} & {a_{n n}}\end{array}\right) \)

детерминантом является \(\ \operatorname{det} A=a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{n n} \)

ПРИМЕР 5

Вычислить определитель 4-го порядка, используя свойства определителя

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {-2} & {1} & {5} & {6} \\ {-3} & {-5} & {1} & {7} \\ {-4} & {-6} & {-7} & {1}\end{array}\right| \)

Приведем этот определитель, используя элементарные преобразования в верхнюю треугольную форму. Для этого добавьте первый, умноженный, соответственно, на 2, 3 и 4 на вторую, третью и четвертую строки.

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {-2} & {1} & {5} & {6} \\ {-3} & {-5} & {1} & {7} \\ {-4} & {-6} & {-7} & {1}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {5} & {11} & {14} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {2} & {5} & {17}\end{array}\right| \)

Измените вторую и третью строки в некоторых местах, а знак детерминанта изменится на противоположное

\(\ \Delta=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {5} & {11} & {14} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {2} & {5} & {17}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {5} & {11} & {14} \\ {0} & {2} & {5} & {17}\end{array}\right| \)

Рядом с третьей строкой добавьте вторую, умноженную на (-5), а на четвертую добавьте вторую, умноженную на (-2). Получите

\(\ \Delta=-\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {5} & {11} & {14} \\ {0} & {2} & {5} & {17}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {0} & {-39} & {-81} \\ {0} & {0} & {-15} & {-21}\end{array}\right| \)

Добавьте к последней строке третий, умноженный на \(\ (-38) \)

\(\ \Delta=-\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {5} & {11} & {14} \\ {0} & {2} & {5} & {17}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {0} & {1} & {10} & {19} \\ {0} & {0} & {-39} & {-81} \\ {0} & {0} & {0} & {\frac{396}{39}}\end{array}\right| \)

Теперь определитель равен произведению элементов на главной диагонали

\(\ \Delta=-\left(1 \cdot 1 \cdot(-39) \cdot \frac{396}{39}\right)=396 \)

\(\ \Delta=396 \)