Узнать цену работы
Статьи по теме

Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ранг матрицы A является числом, равным высшему порядку ненулевого минора этой матрицы.

Обозначает ранг матрицы как

\(\ \operatorname{rang} A \) или \(\ r(A) \) .Очевидно, что ранг матрицы не превышает порядок самой матрицы.

\(\ 0 \leq \operatorname{rang} A_{m \times n} \leq \min (m, n) \)

По определению ранг матрицы \(\ \mathrm{A} \) можно найти следующим образом. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, \(\ \operatorname{rang} A=0 \) Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то \(\ \operatorname{rang} A=1 \) , Если есть ненулевые несовершеннолетние второго порядка, мы исследуем несовершеннолетние третьего порядка. Мы продолжаем этот путь до тех пор, пока ни все миноры порядка \(\ k \) не равны нулю, либо миноры порядка k не существуют, то \(\ \operatorname{rang} A=1 \) .

Примеры нахождения ранга матрицы

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найдите ранг матрицы \(\ A \)

    \(\ \operatorname{rang} A=k-1 \)

  • Решение

    Среди младших несовершеннолетних (т. е. Среди элементов матрицы) отличны от нуля, поэтому \(\ A=\left(\begin{array}{ccc}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    & {-2} \\ {-1} &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \end{array}\right) \) .Рассмотрим несовершеннолетних второго порядка

    \(\ \operatorname{rang} A \geq 1 \)

    Таким образом, все младшие младшие разряды равны нулю, а ранг равен \(\ \operatorname{rang} A=1 \)

  • Ответ

    \(\ M_{12}=\left|\begin{array}{cc}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\ {-1} &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \end{array}\right|=0, \quad M_{13}=\left|\begin{array}{cc}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    & {-2} \\ {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \end{array}\right|=0, \qquad M_{23}=\left|\begin{array}{cc}
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    & {-2} \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \end{array}\right|=0 \)

    Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобен в использовании, так как он связан с вычислением большого числа детерминант. На практике метод поиска ранга матрицы чаще всего используется на основе того, что ранг матрицы не меняется, если элементарные преобразования выполняются на матрице и в следующей теореме.

    Теорема ранга

    Теорема

    Ранг матрицы \(\ A \) равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равно ранга системы столбцов) матрицы \(\ A \).

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите ранг матрицы \(\ A \)

    \(\ A=\left(\begin{array}{ccc}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right) \)

  • Решение.

    Приведем заданную матрицу, используя элементарные преобразования в верхнюю треугольную форму. Поменяйте первый и второй строки исходной матрицы

    \(\ A=\left(\begin{array}{ccc}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right) \)

    Добавим ко второй строке первый, умноженный на \(\ (-3) \), а третий - первый, умноженный на \(\ (-4) \):

    \(\ \left(\begin{array}{ccc}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-7} \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-7}\end{array}\right) \)

    В полученную матрицу добавьте в третью строку вторую, умноженную на \(\ (-1) \):

    \(\ \left(\begin{array}{ccc}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-7} \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-7}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-1} &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-7} \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \end{array}\right) \)

    После элементарных преобразований в матрице остаются две линейно независимые линии, поэтому \(\ \operatorname{rang} A=2 \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{rang} A=2 \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы