Ранг матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ранг матрицы A является числом, равным высшему порядку ненулевого минора этой матрицы.
Обозначает ранг матрицы как
\(\
\operatorname{rang} A
\) или \(\
r(A)
\) .Очевидно, что ранг матрицы не превышает порядок самой матрицы.
\(\
0 \leq \operatorname{rang} A_{m \times n} \leq \min (m, n)
\)
По определению ранг матрицы \(\
\mathrm{A}
\) можно найти следующим образом. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, \(\
\operatorname{rang} A=0
\) Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то \(\
\operatorname{rang} A=1
\) , Если есть ненулевые несовершеннолетние второго порядка, мы исследуем несовершеннолетние третьего порядка. Мы продолжаем этот путь до тех пор, пока ни все миноры порядка \(\
k
\) не равны нулю, либо миноры порядка k не существуют, то \(\
\operatorname{rang} A=1
\) .
Примеры нахождения ранга матрицы
ПРИМЕР 1
Найдите ранг матрицы \(\
A
\)
\(\
\operatorname{rang} A=k-1
\)
Среди младших несовершеннолетних (т. е. Среди элементов матрицы) отличны от нуля, поэтому \(\
A=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {0} & {-2} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right)
\) .Рассмотрим несовершеннолетних второго порядка
\(\
\operatorname{rang} A \geq 1
\)
Таким образом, все младшие младшие разряды равны нулю, а ранг равен \(\
\operatorname{rang} A=1
\)
\(\
M_{12}=\left|\begin{array}{cc}{2} & {0} \\ {-1} & {0}\end{array}\right|=0, \quad M_{13}=\left|\begin{array}{cc}{2} & {-2} \\ {-1} & {1}\end{array}\right|=0, \qquad M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{0} & {-2} \\ {0} & {1}\end{array}\right|=0
\)
Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобен в использовании, так как он связан с вычислением большого числа детерминант. На практике метод поиска ранга матрицы чаще всего используется на основе того, что ранг матрицы не меняется, если элементарные преобразования выполняются на матрице и в следующей теореме.
Теорема ранга
Теорема
Ранг матрицы \(\
A
\) равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равно ранга системы столбцов) матрицы \(\
A
\).
ПРИМЕР 2
Найдите ранг матрицы \(\
A
\)
\(\
A=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {0} & {2} \\ {1} & {-1} & {3} \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)
\)
Приведем заданную матрицу, используя элементарные преобразования в верхнюю треугольную форму. Поменяйте первый и второй строки исходной матрицы
\(\
A=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {0} & {2} \\ {1} & {-1} & {3} \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {3} \\ {3} & {0} & {2} \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)
\)
Добавим ко второй строке первый, умноженный на \(\
(-3)
\), а третий - первый, умноженный на \(\
(-4)
\):
\(\
\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {3} \\ {3} & {0} & {2} \\ {4} & {-1} & {5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {3} \\ {0} & {3} & {-7} \\ {0} & {3} & {-7}\end{array}\right)
\)
В полученную матрицу добавьте в третью строку вторую, умноженную на \(\
(-1)
\):
\(\
\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {3} \\ {0} & {3} & {-7} \\ {0} & {3} & {-7}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {3} \\ {0} & {3} & {-7} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right)
\)
После элементарных преобразований в матрице остаются две линейно независимые линии, поэтому \(\
\operatorname{rang} A=2
\)
\(\
\operatorname{rang} A=2
\)