ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус половинного угла выражается формулой, связывающей функцию угла \(\
\alpha
\) и функцию угла \(\
\frac{\alpha}
\) с формулой
\(\
\sin \frac{\alpha}
=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}
}
\)
Вывод формулы синуса с половинным углом
Вы можете получить эту формулу, используя формулу с двойным углом косинуса следующим образом:
\(\
\cos \alpha=\cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}
\right)=1-2 \sin ^
\frac{\alpha}
\)
отсюда
\(\
\sin ^
\frac{\alpha}
=\frac{1-\cos \alpha}
\)
Эта формула также называется формулой для снижения степени синуса.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Задача
Рассчитать:
\(\
\int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} 3 \sin ^
\frac{x}
d x
\)
Решение:
Чтобы вычислить этот интеграл, мы используем формулу полусинусоидального угла.
\(\
\int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} 3 \sin ^
\frac{x}
d x=3 \int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \frac{1-\cos x}
d x=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\left(\int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} d x-\int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \cos x d x\right) \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\left(\left.x\right|_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}-\sin \left.x\right|_
^{\frac{5}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\right)=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\left(\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-0-\sin \frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\sin 0\right)=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\left(\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\frac{\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
\right)=\frac{\pi}
-\frac{3 \sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{4}
\)
Ответ
\(\
\int_
^{\frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} 3 \sin ^
\frac{x}
d x=\frac{\pi}
-\frac{3 \sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{4}
\)
ПРИМЕР 2
Задача
простить выражение
\(\
\sin ^
\frac{x}
-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\operatorname{tg} x \sin x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{2 \cos x}
\)
Решение:
Чтобы упростить это выражение, мы будем использовать формулу для уменьшения степени синуса, а также представим касательную в виде \(\
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos }
\):
\(\
\sin ^
\frac{x}
-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\operatorname{tg} x \sin x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{2 \cos x}=\frac{1-\cos x}
-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \sin x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{2 \cos x}=\frac{\cos x-\cos ^
x-\sin ^
x+1}{2 \cos x}=\frac{\cos x-1+1}{2 \cos x}=\frac{\cos x}{2 \cos x}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
Ответ
\(\
\sin ^
\frac{x}
-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\operatorname{tg} x \sin x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{2 \cos x}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
