Синус половинного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус половинного угла выражается формулой, связывающей функцию угла \(\ \alpha \) и функцию угла \(\ \frac{\alpha}{2} \) с формулой \(\ \sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} \)
Вывод формулы синуса с половинным углом
Вы можете получить эту формулу, используя формулу с двойным углом косинуса следующим образом: \(\ \cos \alpha=\cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right)=1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \)
отсюда \(\ \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} \)
Эта формула также называется формулой для снижения степени синуса.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Рассчитать:
\(\ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 3 \sin ^{2} \frac{x}{2} d x \)
Чтобы вычислить этот интеграл, мы используем формулу полусинусоидального угла.
\(\ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 3 \sin ^{2} \frac{x}{2} d x=3 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1-\cos x}{2} d x=\frac{3}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x d x\right) \frac{3}{2}\left(\left.x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}}-\sin \left.x\right|_{0} ^{\frac{5}{3}}\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{3}-0-\sin \frac{\pi}{3}+\sin 0\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \)
\(\ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 3 \sin ^{2} \frac{x}{2} d x=\frac{\pi}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \)
ПРИМЕР 2
простить выражение
\(\
\sin ^{2} \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \operatorname{tg} x \sin x+\frac{1}{2 \cos x}
\)
Чтобы упростить это выражение, мы будем использовать формулу для уменьшения степени синуса, а также представим касательную в виде \(\
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos }
\):
\(\
\sin ^{2} \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \operatorname{tg} x \sin x+\frac{1}{2 \cos x}=\frac{1-\cos x}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \sin x+\frac{1}{2 \cos x}=\frac{\cos x-\cos ^{2} x-\sin ^{2} x+1}{2 \cos x}=\frac{\cos x-1+1}{2 \cos x}=\frac{\cos x}{2 \cos x}=\frac{1}{2}
\)
\(\
\sin ^{2} \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \operatorname{tg} x \sin x+\frac{1}{2 \cos x}=\frac{1}{2}
\)
