Синус тройного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус тройного угла выражается через синус этого угла следующим образом
\(\
\sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти значение \(\
\sin 3 \alpha
\) , \(\
\operatorname{ctg} \alpha=2
\), \(\
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
\)
Пользуясь основными тригонометрическими тождествами выразим синус через котангенс
\(\
\sin ^{2} \alpha=\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}
\)
\(\
\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}
\)
Подставим полученное значение в формулу синуса тройного угла
\(\
\sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha=\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{5 \sqrt{5}}=\frac{11}{5 \sqrt{5}}=\frac{11 \sqrt{5}}{25}
\)
Ответ:
\(\
\sin 3 \alpha=\frac{11 \sqrt{5}}{25}
\)
ПРИМЕР 2
Упростить выражение
\(\
\frac{\sin 3 \alpha+\sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}
\)
Используя формулу синуса тройного угла, преобразуем выражение
\(\
\frac{\sin 3 \alpha+\sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}=\frac{3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha+\sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}=\frac{4 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}=\frac{4 \sin \alpha\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)}{4 \cos ^{2} \alpha}=\frac{4 \sin \alpha \cos ^{2} \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}=\sin \alpha
\)
\(\
\frac{\sin 3 \alpha+\sin \alpha}{4 \cos ^{2} \alpha}=\sin \alpha
\)