Узнать цену работы
Статьи по теме

Уравнения Максвелла

Роль уравнений Максвелла в физике

Система уравнений Максвелла, пожалуй, является основой электродинамики. Он описывает электромагнитное поле в целом, состоящее из электрического и магнитного поля. Первый создается вокруг заряженной частицы, движущиеся заряженные частицы (как, например, в проводящем проводнике) порождают магнитное поле. В то же время магнитное поле влияет на электрические заряды в движении и даже на тело.

Электрическое поле переносится электроном, а носителем магнитного поля является фотон.

Любые электромагнитные волны - микроволны, инфракрасные волны, рентгеновские лучи и даже видимый свет - все это электромагнитные поля.

Уравнения Максвелла были первоначально представлены в дифференциальной форме - для сплошной среды. Однако на самом деле приходится иметь дело с «разрывами» - например, когда окружающая среда состоит из разных материалов, а ее свойства в какой-то момент резко меняются.

Первое уравнение Максвелла

Первое из уравнений Максвелла (его также называют законом Гаусса) имеет вид:

является электрической индукцией. Его поток протекает через поверхность S, внутри которой электрический заряд Q заключен в определенном объеме. Поток электрической индукции через эту поверхность пропорционален заряду внутри объема. Формула говорит нам, что электрическое поле «течет» из заряда. И электрическая индукция, по сути, характеризует интенсивность этого поля, насколько сильно он влияет на окружающие объекты.

Второе уравнение Максвелла

Следующий закон Максвелла похож на первый (это также закон Гаусса), но предназначен для магнитного поля:

также является индукционным, но уже электромагнитным. Мы видим, что через замкнутую поверхность поток равен нулю, а это значит, что внутри поверхности нет источников магнитного заряда. Они не в природе. Единые электрические заряды (электроны, позитроны, протоны) существуют в природе, но магнитных зарядов с разными полярностями нет.

Третье уравнение Максвелла

Третий закон Максвелла также называется законом индукции Фарадея:

- интенсивность электрического поля, циркулирующего вдоль контура l. l - граница поверхности s, через которую проходит поток магнитной индукции. Это уравнение содержит принцип работы генератора: чем быстрее и сильнее изменяется магнитное поле (например, магнит вращается внутри катушки), тем быстрее электрическое поле разматывается на границе контура (в случае генератор, электрический ток индуцируется на обмотке).

Четвертое уравнение Максвелла

Здесь мы видим, как рождается магнитное поле. Если электрический ток I течет через поверхность, а электрический поток индукции проходит, то магнитное поле с интенсивностью будет циркулировать вдоль границы поверхности - и его циркуляция будет пропорциональна их сумме.

Уравнения Максвелла применяются не только в электротехнике (генераторах и трансформаторах, электрических машинах и схемах) - они стали стимулом для открытия радиоволн, а чуть позже - стимулом для создания теории относительности.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Чтобы показать, что закон сохранения электрического заряда вытекает из уравнений Максвелла:

  • Решение.

    Напишите четвертое уравнение Максвелла:

    Примените теорему Стокса к ее левой части:

    Тогда уравнение принимает вид:

    Выделяя подынтегральные выражения, получаем:

    Возьмите расхождение с обеих частей:

    Примеры решения уравнений Максвелла

  • Ответ

    получил выражение , и это закон сохранения заряда.

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Как зная интегральные уравнения Максвелла, получить их в дифференциальной форме?

  • Решение

    1) Первое уравнение Максвелла:

    Примените теорему Остроградского-Гаусса к ее левой части:

    А так как полный электрический заряд равен интегралу от его плотности по объему, закон Максвелла примет вид:

    2) Примените теорему Остроградского к второму закону Максвелла:

    3) Применим теорему Стокса к третьему закону Максвелла, преобразуем ее левую часть:

    Затем перепишем уравнение в виде:

    Где, из-за произвола интеграции:

    4) Применяя теорему Стокса, преобразуем левую часть четвертого уравнения Максвелла:

    Затем мы перепишем все уравнение в виде:

  • Ответ

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ