Взаимно обратные функции
Допустим, что множества X и Y являются частью множества действительных чисел. В таком случае требуется введение такого термина как обратимая функция.
ОпределениеОтображающую множество X во множестве Y функцию \(\ f : X \rightarrow Y \) называют обратимой, если для каких-либо элементов \(\ x_{1}, x_{2} \in X \) из того что \(\ x_{1} \neq x_{2} \), а отсюда в свою очередь следует то, что \(\ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) \)
С учетом этого вводится термин обратная функция.
ОпределениеПредположим, что отображающая множество X во множестве Y функция \(\ f : X \rightarrow Y \) является обратимой. Вследствие этого функция \(\ f^{-1} : Y \rightarrow X \), которая отображает множество Y во множество X, а также определяемая условием \(\ f^{-1}(y)=x \), именуется обратной для \(\ f(x) \)
ТеоремаДопусти функция \(\ y=f(x) \) является определенной, монотонно возрастающей (убывающей) и непрерывной в том или ином промежутке X. Следовательно, в промежутке значений Y этой функции у нее имеется обратная функция, которая монотонно убывает или возрастает, а также является непрерывной (промежуток Y).
Теперь стоит ввести такой термин как взаимно обратные функции.
ОпределениеВ рамках второго определения, функции \(\ f(x) n f^{-1}(y) \) именуют взаимно обратные.
Характеристика взаимно обратных функций
Предположим, что функции \(\ y=f(x)_\quad{и}\quad x=g(y) \)являются взаимно обратными, а значит:
\(\ y=f(g(y)) n x=g(f(x)) \)
Область определения функции \(\ y=f(x) \)соответствуют области значения \(\ x=g(y) \), в то время как область определения последней соответствует области значения первой.
Графики обратной функции \(\ y=f(x)_\quad{и} \quad x=g(y) \)по отношению к прямой y=x являются симметричными
Если наблюдается возрастание или убывание одной из этих функций, вторая будет аналогично возрастать, либо убывать.
Как найти обратную функцию?
Относительно переменной х нужно решить уравнение \(\ y=f(x) \)
Из найденных корней нужно получить корни, принадлежащие промежутку Х.
Полученные х необходимо поставить соответственно значению y.
ПримерНайдите функцию обратную данной \(\ y=x^{2} \) на промежутке \(\ X=[-1,0] \)
Поскольку функция является убывающей и непрерывной (промежуток Х), тогда на промежутке Y будет равен [0,1], причем согласно первой теореме, он тоже является непрерывной и убывающей на данном промежутке.
Вычисление х:
\(\ y=x^{2} \)
\(\ x=\pm \sqrt{y} \)
Подбираем необходимые значения:
\(\ x=-\sqrt{y} \)
Ответ: обратная функция \(\ y=-\sqrt{x} \)
ПримерНайти обратную функцию для \(\ y=x+4 \)
Поскольку функция является возрастающей и непрерывной на всей области, тогда согласно первой теореме, то здесь имеют место быть возрастающая и непрерывная функции.
Отыщем х из уравнения \(\ y=x+4 \)
\(\ y=x+4 \)
\(\ x=y-4 \)
Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.
Переопределив переменные, получим такой вид обратной функции
\(\ x=y-4 \)
ПримерОтыскать функцию обратного типа для \(\ y=x^{3} \). Нахождение аналогично второму примеру.
Отыщем х из уравнения \(\ y=x^{3} \)
\(\ y=x^{3} \)
\(\ x=\sqrt[3]{y} \)
Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.
Переопределив переменные, получим следующий вид обратной функции
\(\ y=\sqrt[3]{x} \)
ПримерОтыскать обратную функцию для \(\ y=\cos x \)на промежутке \(\ [0, \pi] \)
Рассмотрим функцию \(\ y=\cos x \) на множестве \(\ X=[0, \pi] \). Она непрерывна и убывает на множестве X и отображает множество \(\ X=[0, \pi] \)на множество \(\ X=[0, \pi] \) потому согласно первой теореме у функции \(\ y=\cos x \)в множестве Y имеется непрерывная обратная функция, возрастающая на \(\ Y=[-1 ; 1] \) и отображающая множество [-1;1] на множество \(\ [0, \pi] \).
Найдем х из \(\ y=\cos x \):
\(\ y=\cos x \)
\(\ x=\pm \arccos y+2 \pi n, n \in Z \)
Ищем подходящие значения
\(\ x=\arccos y \)
Переопределяя переменные, получаем:
\( y = \arccos x \)
Пример
На промежутке \(\ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) функции \(\ y=\operatorname{tg} x \)отыскать обратную функцию.
Функция \(\ y=\operatorname{tg} x \)на множестве \(\ X=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) является непрерывной и возрастающей (множество Х) и указывает на множество \(\ X=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), а она соответственно на множество Y=R. Отсюда, согласно первой теореме, функция \(\ y=\operatorname{tg} x \)обладает обратной непрерывной функцией (множество Y) возрастающей на Y=R и отображающей множество R на множество \(\ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)
Ищем х из \(\ y=\operatorname{tg} x : \):
\(\ y=\operatorname{tg} x \)
\(\ x=\operatorname{arctg} y+\pi n, n \in Z \)
Ищем подходящие значения
\(\ x=\operatorname{arctg} y \)
Переопределяя переменные, получаем:
\(\ y=\operatorname{arctg} x \)