Узнать цену работы
Статьи по теме

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальная настройка с разделяемыми переменными с видом имени \(\ f_{1}(x) g_{1}(y) d y=f_{2}(x) g_{2}(y) d x \) (1) или \(\ f_{1}(x) g_{1}(y) y^{\prime}(x)=f_{2}(x) g_{2}(y) \)

Эти уравнения являются простейшими уравнениями первого порядка.

Решение уравнения (1) может быть получено путем деления переменных; для этого обе части делятся на продукт \(\ f_{1}(x) g_{2}(y) \) .Тогда исходное уравнение принимает вид: \(\ \frac{g_{1}(y)}{g_{2}(y)} d y=\frac{f_{2}(x)}{f_{1}(x)} d x \)

и его общий интеграл \(\ \int \frac{g_{1}(y)}{g_{2}(y)} d y=\int \frac{f_{2}(x)}{f_{1}(x)} d x \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти решение уравнений \(\ y^{\prime}=3^{2 x-3 y} \)

  • Решение

    Данное уравнение представляет собой уравнение с сепарабельными переменными. Выделяя их, ибо это свойство степеней применимо к правой части равенства: \(\ a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}} \)

    Тогда мы получим: \(\ \frac{d y}{d x}=\frac{3^{2 x}}{3^{3 y}} \Rightarrow 3^{3 y} d y=3^{2 x} d x \)

    Общий интеграл дистанционного управления \(\ \int 3^{3 y} d y=\int 3^{2 x} d x \)

    Найдя интегралы, мы получим: \(\ \frac{3^{3 y}}{3 \ln 3}=\frac{3^{2 x}}{2 \ln 3}+\frac{C}{6 \ln 3} \)

    Умножим последнее равенство на \(\ 6 \ln 3 \) ,в результате \(\ 2 \cdot 3^{3 y}=3 \cdot 3^{2 x}+C \)

    или же \(\ 2 \cdot 27^{y}=3^{2 x+1}+C \)

  • Ответ \(\ 2 \cdot 27^{y}=3^{2 x+1}+C \)

    ПРИМЕР

    Решение задачи \(\ \left(x^{2}+4\right) y^{\prime}=2 x y \)

    Решение этого уравнения для дифференциальных уравнений с сепарабельными переменными делит их: \(\ \left(x^{2}+4\right) \cdot \frac{d y}{d x}=2 x y \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{2 x d x}{x^{2}+4} \)

    Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{2 x d x}{x^{2}+4} \)

    Интегрируя, мы будем иметь: \(\ \ln |y|=\int \frac{2 x d x}{x^{2}+4}=\int \frac{d\left(x^{2}+4\right)}{x^{2}+4}=\ln \left|x^{2}+4\right|+\ln |C|_{\ln |y|}=\ln C\left(x^{2}+4\right) \Rightarrow y(x)=C\left(x^{2}+4\right) \)

  • Ответ \(\ y(x)=C\left(x^{2}+4\right) \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ