Двойной интеграл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных есть двойной интеграл.
Определение двойного интеграла
Пусть в замкнутой области \(\
\mathrm{D}
\), принадлежащей плоскости \(\
\mathrm{Oxy}
\), задана непрерывная функция \(\
u=f(x ; y)
\) . Разобьем эту область на n элементарных областей \(\
D_{i}(i=\overline{1 ; n})
\) , площади которых будем обозначать как \(\
\Delta S_{i}
\) , а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через \(\
d_{i}
\)
В каждой элементарной области \(\
D_{i}
\) выберем произвольную точку \(\
M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)
\). Значение функции \(\
f\left(x_{i} ; y_{i}\right)
\)в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:
\(\
f\left(x_{1} ; y_{1}\right) \Delta S_{1}+f\left(x_{2} ; y_{2}\right) \Delta S_{2}+\ldots+f\left(x_{n} ; y_{n}\right) \Delta S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i}
\)
Полученная сумма называется интегральной суммой функции \(\
u=f(x ; y)
\) в области \(\
D
\).
Найдем предел указанной интегральной суммы при \(\
n \rightarrow \infty
\) таким образом, чтобы \(\
\max d_{i} \rightarrow 0
\). Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области \(\
\mathrm{D}
\) на элементарные области, ни от способа выбора в них точек \(\
M_{i}
\) , то он называется двойным интегралом от функции \(\
u=f(x ; y)
\) области \(\
\mathrm{D}
\) и обозначается \(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d s
\). Итак, двойной интеграл определяется равенством
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=\lim _{\max _{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i}
\)
Область \(\
\mathrm{D}
\) называется областью интегрирования, \(\
x
\) и \(\
y
\) – переменные интегрирования, функция \(\
u=f(x ; y)
\) – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области \(\
d x d y=d S
\) – элементом площади.
Свойства двойного интеграла
1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:
\(\
\iint_{D} C \cdot f(x ; y) d x d y=C \cdot \iint_{D} f(x ; y) d x d y
\)
где \(\
C=\mathrm{const}
\)
2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:
\(\
\iint_{D}[f(x ; y) \pm g(x ; y)] d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d x d y \pm \iint_{D} g(x ; y) d x d y
\)
ЗАМЕЧАНИЕ
Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых.
3. Если область интегрирования \(\
\mathrm{D}
\) можно разбить на две области \(\
D_{1}
\) и \(\
D_{2}
\) , например, как это показано на рисунке 2, то
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(x ; y) d x d y+\iint_{D_{2}} f(x ; y) d x d y
\)
4. Если в области интегрирования \(\
D
\) функция \(\
f(x ; y) \geq 0
\) , то и двойной интеграл \(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq 0
\).
5. Если функции \(\
f(x ; y)
\) и \(\
g(x ; y)
\) в области \(\
\mathrm{D}
\) удовлетворяют неравенству \(\
f(x ; y) \geq g(x ; y)
\) , то справедливо и неравенство
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq \iint_{D} g(x ; y) d x d y
\)
6. \(\
\iint_{D} d x d y=\iint_{D} d S=S
\) , где \(\
\mathrm{S}
\) – это площадь области \(\
D
\).
7. Если функция \(\
u=f(x ; y)
\) непрерывна в замкнутой области \(\
D
\), площадь которой равна \(\
\mathrm{S}
\), то
\(\
m \cdot S \leq \iint_{D} f(x ; y) d x d y \leq M \cdot S
\)
где \(\
m
\) и \(\
M
\) – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области \(\
D
\) соответственно.
8. Если функция \(\
u=f(x ; y)
\) непрерывна в замкнутой области \(\
D
\), площадь которой равна \(\
S
\), то в этой области существует такая точка \(\
M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)
\)что имеет место равенство:
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=f\left(x_{0} ; y_{0}\right) \cdot S
\)
Величина \(\
f\left(x_{0} ; y_{0}\right)=\frac{1}{S} \iint_{D} f(x ; y) d x d y
\) называется средним значением функции \(\
u=f(x ; y)
\) в область \(\
D
\).
Пусть область интегрирования \(\
D
\) – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями \(\
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}
\) , \(\
x=b
\) , \(\
(a \leq x \leq b)
\) , \(\
y=c
\) , \(\
y=d
\) , \(\
(c \leq y \leq d)
\) (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{c}^{d} f(x ; y) d y
\) или
\(\
\iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{a}^{b} f(x ; y) d x
\)
Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл \(\
\int_{c}^{d} f(x ; y) d y
\) называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная x сохраняет на отрезке интегрирования \(\
[c ; d]
\) постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция \(\
f(x ; y)
\) – функция одной переменной y. В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной \(\
x
\).
ЗАМЕЧАНИЕ
Вычисление повторного интеграла нужно начинать с вычисления внутреннего интеграла.
После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной \(\
x
\). В результате второго интегрирования получаем уже число.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Вычислить двойной интеграл \(\
\iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y
\) , где область \(\
D
\) – квадрат со сторонами \(\
x=0
\), \(\
x=1
\), \(\
y=2
\), \(\
y=3
\). В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной \(\
y
\), а внешний – по \(\
x
\). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Вначале изобразим область интегрирования (рис. 4). Запишем заданный двойной интеграл через повторные: \(\
\iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{0}^{1} d x \int_{2}^{3}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d y
\)
Внутреннее (первое) интегрирование будем выполнять по переменной y (при этом считаем, что \(\
x
\) – константа), а внешнее (второе) – по переменной \(\
x
\):
\(\
\iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{0}^{1} d x \int_{2}^{3}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d y=
\)
\(\
=\int_{0}^{1} d x\left[6 x \int_{2}^{3} y^{2} d y-12 x^{2} \int_{2}^{3} y d y\right]=\int_{0}^{1}\left(6 x \cdot\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{2} ^{3}-12 x^{2} \cdot\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{2} ^{3}\right) d x=
\)
\(\
=\int_{0}^{1}\left[2 x\left(3^{3}-2^{3}\right)-6 x^{2}\left(3^{2}-2^{2}\right)\right] d x=\int_{0}^{1}\left(38 x-30 x^{2}\right) d x=
\)
\(\
=\int_{0}^{1} 38 x d x-\int_{0}^{1} 30 x^{2} d x=38 \int_{0}^{1} x d x-30 \int_{0}^{1} x^{2} d x=38 \cdot\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}-30 \cdot\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}=
\)
\(\
=19\left(1^{2}-0^{2}\right)-10\left(1^{3}-0^{3}\right)=19-10=9
\)
Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\
x
\) (считая, что y есть постоянной), а внешнее – по переменной \(\
y=
\):
\(\
\iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{2}^{3} d y \int_{0}^{1}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x=
\)
\(\
=\int_{2}^{3}\left[6 y^{2} \int_{0}^{1} x d x-12 y \int_{0}^{1} x^{2} d x\right] d y=\int_{2}^{3}\left[6 y^{2} \cdot\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}-12 y \cdot\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}\right]_{0}^{1} ] d y=
\)
\(\
=\int_{2}^{3}\left(3 y^{2}-4 y\right) d y=\left.\left(3 \cdot \frac{y^{3}}{3}-4 \cdot \frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{2} ^{3}=27-8-2(9-4)=19-10=9
\)
\(\
\iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=9
\)
ПРИМЕР 2
Вычислить двойной интеграл \(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y
\) , если область \(\
D
\) ограничена линиями \(\
y=x^{2}
\) , \(\
x=2
\) , \(\
y=2 x-1
\). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Строим заданную область \(\
\square
\) (рис. 5). Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\
y
\), а внешнее – по \(\
x
\):
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}\left(x^{2}+2 y\right) d y
\)
Контур области \(\
D
\) пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках (рис. 6).
Найдем пределы интегрирования. Переменная x изменяется от абсциссы точки \(\
A
\) к абсциссе точек \(\
B
\) и \(\
\mathrm{C}
\). Координаты точки \(\
\mathrm{A}
\) найдем как координаты точки пересечения графиков функций \(\
y=x^{2}
\)и \(\
y=2 x-1
\) .
\(\
\left\{\begin{array}{c}{y=x^{2},} \\ {y=2 x-1}\end{array} \Rightarrow x^{2}=2 x-1 \Rightarrow x^{2}-2 x+1=0 \Rightarrow(x-1)^{2}=0 \Rightarrow x_{A}=1\right.
\)
Так как точки \(\
B
\) и \(\
\mathrm{C}
\) лежать на прямой \(\
x=2
\), то \(\
x_{B}=x_{C}=2
\) . Итак, \(\
1 \leq x \leq 2
\) . Далее на отрезке \(\
[1 ; 2]
\) выбираем произвольную точку \(\
x
\), через нее проводим прямую, параллельную оси \(\
Oy
\), и на этой прямой рассмотрим отрезок \(\
KL
\), принадлежащий области \(\
D
\).
Область \(\
D
\) ограничена снизу прямой \(\
y=2 x-1
\), а сверху – веткой параболы \(\
y=x^{2}
\) . Переменная y изменяется в заданной области \(\
D
\) от ее значения \(\
2 x-1
\) на нижней части контура \(\
\mathrm{ABC}
\) до ее значения \(\
x^{2}
\) на верхней части этого контура.
Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.
Таким образом, \(\
2 x-1 \leq y \leq x^{2}
\) , а тогда область \(\
D
\) задается следующими неравенствами:
\(\
D :\left\{\begin{array}{c}{1 \leq x \leq 2} \\ {2 x-1 \leq y \leq x^{2}}\end{array}\right.
\)
Итак,
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{1}^{2} d x \int_{2 x-1}^{x^{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d y=\int_{1}^{2} d x\left.\left(x^{2} y+y^{2}\right)\right|_{2 x-1} ^{x^{2}}=
\)
\(\
=\int_{1}^{2}\left[x^{2} \cdot x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{2} \cdot(2 x-1)+(2 x-1)^{2}\right)\right] d x=
\)
\(\
=\int_{1}^{2}\left(2 x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1\right) d x=\left.\left(\frac{2 x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+2 x^{2}-x\right)\right|_{1} ^{2}=
\)
\(\
=\frac{64}{5}-8-8+8-2-\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}-1+2-1\right)=\frac{29}{10}
\)
Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\
x
\), а внешнее – по \(\
y
\). То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}\left(x^{2}+2 y\right) d x
\)
С рисунка 6 области \(\
D
\) видно, что левая граница контура области – одна линия (положительная ветка параболы \(\
y=x^{2}
\) , а его правая часть состоит из двух линий \(\
\mathrm{AB}
\) (отрезок прямой \(\
y=2 x-1
\)) и \(\
\mathrm{BC}
\) (отрезок прямой \(\
x=2
\)), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область \(\
\mathrm{D}
\) нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут \(\
D_{1}-A B F
\) и \(\
D_{2}-B C F
\) . Заданная область \(\
D
\) будет суммой областей \(\
D_{1}
\) и \(\
D_{2}
\) (рис. 7). Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\iint_{D_{1}}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y+\iint_{D_{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y
\)
Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной \(\
\mathbf{x}
\), то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:
\(\
A B : y=2 x-1 \Rightarrow x=\frac{y+1}{2}
\); \(\
A C : y=x^{2} \Rightarrow x=\sqrt{y}
\)
Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области \(\
D_{1}
\) переменная y изменяется от ординаты точки \(\
\mathrm{A}
\) до ординат точек \(\
B
\) и \(\
F
\). Точка \(\
A
\) принадлежит параболе \(\
y=x^{2}
\) и выше было найдено, что абсцисса этой точки \(\
x_{A}=1
\) , тогда \(\
y_{A}=1^{2}=1
\) . Точка \(\
B
\) – точка пересечения двух прямых \(\
x=2
\) и \(\
y=2 x-1
\), а тогда \(\
y_{B}=2 \cdot 2-1=3
\). Итак имеем, что \(\
1 \leq y \leq 3
\) . Переменная \(\
x
\) в области \(\
D_{1}
\) изменяется от ветки параболы \(\
x=\sqrt{y}
\) до прямой \(\
x=\frac{y+1}{2}
\) то есть \(\
D_{1} :\left\{\begin{aligned} 1 \leq y & \leq 3 \\ \sqrt{y} \leq & x \leq \frac{y+1}{2} \end{aligned}\right.
\)
Аналогично для области \(\
D_{2}
\) находим, что \(\
D_{2} :\left\{\begin{array}{c}{3 \leq y \leq 4} \\ {\sqrt{y} \leq x \leq 2}\end{array}\right.
\)
Таким образом,
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{1}^{3} d y \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y+1}{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d x+\int_{3}^{4} d y \int_{\sqrt{y}}^{2}\left(x^{2}+2 y\right) d x=
\)
\(\
=\int_{1}^{3}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^{\frac{y+1}{2}} d y+\int_{3}^{4}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^{2} d y=
\)
\(\
=\int_{1}^{3}\left(\frac{(y+1)^{3}}{24}+y^{2}+y-\frac{7}{3} y^{\frac{3}{2}}\right) d y+\int_{3}^{4}\left(\frac{8}{3}+4 y-\frac{7}{3} y^{\frac{3}{2}}\right) d y=
\)
\(\
=\left.\left[\frac{(y+1)^{4}}{96}+\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}-\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_{1} ^{3}+\left.\left[\frac{8 y}{3}+2 y^{2}-\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_{3} ^{4}=
\)
\(\
=\left[\frac{8}{3}+9+\frac{9}{2}-\frac{42 \sqrt{3}}{5}-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{14}{15}\right)\right]+
\)
\(\
+\left[\frac{32}{3}+32-\frac{448}{15}-\left(8+18-\frac{42 \sqrt{3}}{5}\right)\right]=\frac{29}{10}
\)
\(\
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\frac{29}{10}
\)