Узнать цену работы
Статьи по теме

Двойной интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных есть двойной интеграл.

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области \(\ \mathrm{D} \), принадлежащей плоскости \(\ \mathrm{Oxy} \), задана непрерывная функция \(\ u=f(x ; y) \) . Разобьем эту область на n элементарных областей \(\ D_{i}(i=\overline{1 ; n}) \) , площади которых будем обозначать как \(\ \Delta S_{i} \) , а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через \(\ d_{i} \)

В каждой элементарной области \(\ D_{i} \) выберем произвольную точку \(\ M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right) \). Значение функции \(\ f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \)в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

\(\ f\left(x_{1} ; y_{1}\right) \Delta S_{1}+f\left(x_{2} ; y_{2}\right) \Delta S_{2}+\ldots+f\left(x_{n} ; y_{n}\right) \Delta S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i} \)

Полученная сумма называется интегральной суммой функции \(\ u=f(x ; y) \) в области \(\ D \).

Найдем предел указанной интегральной суммы при \(\ n \rightarrow \infty \) таким образом, чтобы \(\ \max d_{i} \rightarrow 0 \). Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области \(\ \mathrm{D} \) на элементарные области, ни от способа выбора в них точек \(\ M_{i} \) , то он называется двойным интегралом от функции \(\ u=f(x ; y) \) области \(\ \mathrm{D} \) и обозначается \(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d s \). Итак, двойной интеграл определяется равенством

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\lim _{\max _{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i} \)

Область \(\ \mathrm{D} \) называется областью интегрирования, \(\ x \) и \(\ y \) – переменные интегрирования, функция \(\ u=f(x ; y) \) – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области \(\ d x d y=d S \) – элементом площади.

Свойства двойного интеграла

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

\(\ \iint_{D} C \cdot f(x ; y) d x d y=C \cdot \iint_{D} f(x ; y) d x d y \)

где \(\ C=\mathrm{const} \)

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

\(\ \iint_{D}[f(x ; y) \pm g(x ; y)] d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d x d y \pm \iint_{D} g(x ; y) d x d y \)

ЗАМЕЧАНИЕ

Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых.

3. Если область интегрирования \(\ \mathrm{D} \) можно разбить на две области \(\ D_{1} \) и \(\ D_{2} \) , например, как это показано на рисунке 2, то

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(x ; y) d x d y+\iint_{D_{2}} f(x ; y) d x d y \)

4. Если в области интегрирования \(\ D \) функция \(\ f(x ; y) \geq 0 \) , то и двойной интеграл \(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq 0 \).

5. Если функции \(\ f(x ; y) \) и \(\ g(x ; y) \) в области \(\ \mathrm{D} \) удовлетворяют неравенству \(\ f(x ; y) \geq g(x ; y) \) , то справедливо и неравенство

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq \iint_{D} g(x ; y) d x d y \)

6. \(\ \iint_{D} d x d y=\iint_{D} d S=S \) , где \(\ \mathrm{S} \) – это площадь области \(\ D \).

7. Если функция \(\ u=f(x ; y) \) непрерывна в замкнутой области \(\ D \), площадь которой равна \(\ \mathrm{S} \), то

\(\ m \cdot S \leq \iint_{D} f(x ; y) d x d y \leq M \cdot S \)

где \(\ m \) и \(\ M \) – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области \(\ D \) соответственно.

8. Если функция \(\ u=f(x ; y) \) непрерывна в замкнутой области \(\ D \), площадь которой равна \(\ S \), то в этой области существует такая точка \(\ M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right) \)что имеет место равенство:

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=f\left(x_{0} ; y_{0}\right) \cdot S \)

Величина \(\ f\left(x_{0} ; y_{0}\right)=\frac{1}{S} \iint_{D} f(x ; y) d x d y \) называется средним значением функции \(\ u=f(x ; y) \) в область \(\ D \).

Пусть область интегрирования \(\ D \) – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями \(\ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a} \) , \(\ x=b \) , \(\ (a \leq x \leq b) \) , \(\ y=c \) , \(\ y=d \) , \(\ (c \leq y \leq d) \) (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{c}^{d} f(x ; y) d y \) или

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{a}^{b} f(x ; y) d x \)

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл \(\ \int_{c}^{d} f(x ; y) d y \) называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная x сохраняет на отрезке интегрирования \(\ [c ; d] \) постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция \(\ f(x ; y) \) – функция одной переменной y. В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной \(\ x \).

ЗАМЕЧАНИЕ

Вычисление повторного интеграла нужно начинать с вычисления внутреннего интеграла.

После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной \(\ x \). В результате второго интегрирования получаем уже число.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Вычислить двойной интеграл \(\ \iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y \) , где область \(\ D \) – квадрат со сторонами \(\ x=0 \), \(\ x=1 \), \(\ y=2 \), \(\ y=3 \). В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной \(\ y \), а внешний – по \(\ x \). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.

  • Решение

    Вначале изобразим область интегрирования (рис. 4). Запишем заданный двойной интеграл через повторные: \(\ \iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{0}^{1} d x \int_{2}^{3}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d y \)

    Внутреннее (первое) интегрирование будем выполнять по переменной y (при этом считаем, что \(\ x \) – константа), а внешнее (второе) – по переменной \(\ x \):

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{0}^{1} d x \int_{2}^{3}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d y= \)

    \(\ =\int_{0}^{1} d x\left[6 x \int_{2}^{3} y^{2} d y-12 x^{2} \int_{2}^{3} y d y\right]=\int_{0}^{1}\left(6 x \cdot\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{2} ^{3}-12 x^{2} \cdot\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{2} ^{3}\right) d x= \)

    \(\ =\int_{0}^{1}\left[2 x\left(3^{3}-2^{3}\right)-6 x^{2}\left(3^{2}-2^{2}\right)\right] d x=\int_{0}^{1}\left(38 x-30 x^{2}\right) d x= \)

    \(\ =\int_{0}^{1} 38 x d x-\int_{0}^{1} 30 x^{2} d x=38 \int_{0}^{1} x d x-30 \int_{0}^{1} x^{2} d x=38 \cdot\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}-30 \cdot\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}= \)

    \(\ =19\left(1^{2}-0^{2}\right)-10\left(1^{3}-0^{3}\right)=19-10=9 \)

    Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ x \) (считая, что y есть постоянной), а внешнее – по переменной \(\ y= \):

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=\int_{2}^{3} d y \int_{0}^{1}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x= \)

    \(\ =\int_{2}^{3}\left[6 y^{2} \int_{0}^{1} x d x-12 y \int_{0}^{1} x^{2} d x\right] d y=\int_{2}^{3}\left[6 y^{2} \cdot\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}-12 y \cdot\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}\right]_{0}^{1} ] d y= \)

    \(\ =\int_{2}^{3}\left(3 y^{2}-4 y\right) d y=\left.\left(3 \cdot \frac{y^{3}}{3}-4 \cdot \frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{2} ^{3}=27-8-2(9-4)=19-10=9 \)

  • Ответ

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^{2}-12 x^{2} y\right) d x d y=9 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Вычислить двойной интеграл \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y \) , если область \(\ D \) ограничена линиями \(\ y=x^{2} \) , \(\ x=2 \) , \(\ y=2 x-1 \). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.

  • Решение

    Строим заданную область \(\ \square \) (рис. 5). Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ y \), а внешнее – по \(\ x \):

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}\left(x^{2}+2 y\right) d y \)

    Контур области \(\ D \) пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках (рис. 6).

    Найдем пределы интегрирования. Переменная x изменяется от абсциссы точки \(\ A \) к абсциссе точек \(\ B \) и \(\ \mathrm{C} \). Координаты точки \(\ \mathrm{A} \) найдем как координаты точки пересечения графиков функций \(\ y=x^{2} \)и \(\ y=2 x-1 \) .

    \(\ \left\{\begin{array}{c}{y=x^{2},} \\ {y=2 x-1}\end{array} \Rightarrow x^{2}=2 x-1 \Rightarrow x^{2}-2 x+1=0 \Rightarrow(x-1)^{2}=0 \Rightarrow x_{A}=1\right. \)

    Так как точки \(\ B \) и \(\ \mathrm{C} \) лежать на прямой \(\ x=2 \), то \(\ x_{B}=x_{C}=2 \) . Итак, \(\ 1 \leq x \leq 2 \) . Далее на отрезке \(\ [1 ; 2] \) выбираем произвольную точку \(\ x \), через нее проводим прямую, параллельную оси \(\ Oy \), и на этой прямой рассмотрим отрезок \(\ KL \), принадлежащий области \(\ D \).

    Область \(\ D \) ограничена снизу прямой \(\ y=2 x-1 \), а сверху – веткой параболы \(\ y=x^{2} \) . Переменная y изменяется в заданной области \(\ D \) от ее значения \(\ 2 x-1 \) на нижней части контура \(\ \mathrm{ABC} \) до ее значения \(\ x^{2} \) на верхней части этого контура.

    Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.

    Таким образом, \(\ 2 x-1 \leq y \leq x^{2} \) , а тогда область \(\ D \) задается следующими неравенствами:

    \(\ D :\left\{\begin{array}{c}{1 \leq x \leq 2} \\ {2 x-1 \leq y \leq x^{2}}\end{array}\right. \)

    Итак,

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{1}^{2} d x \int_{2 x-1}^{x^{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d y=\int_{1}^{2} d x\left.\left(x^{2} y+y^{2}\right)\right|_{2 x-1} ^{x^{2}}= \)

    \(\ =\int_{1}^{2}\left[x^{2} \cdot x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{2} \cdot(2 x-1)+(2 x-1)^{2}\right)\right] d x= \)

    \(\ =\int_{1}^{2}\left(2 x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1\right) d x=\left.\left(\frac{2 x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+2 x^{2}-x\right)\right|_{1} ^{2}= \)

    \(\ =\frac{64}{5}-8-8+8-2-\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}-1+2-1\right)=\frac{29}{10} \)

    Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ x \), а внешнее – по \(\ y \). То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}\left(x^{2}+2 y\right) d x \)

    С рисунка 6 области \(\ D \) видно, что левая граница контура области – одна линия (положительная ветка параболы \(\ y=x^{2} \) , а его правая часть состоит из двух линий \(\ \mathrm{AB} \) (отрезок прямой \(\ y=2 x-1 \)) и \(\ \mathrm{BC} \) (отрезок прямой \(\ x=2 \)), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область \(\ \mathrm{D} \) нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут \(\ D_{1}-A B F \) и \(\ D_{2}-B C F \) . Заданная область \(\ D \) будет суммой областей \(\ D_{1} \) и \(\ D_{2} \) (рис. 7). Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\iint_{D_{1}}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y+\iint_{D_{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y \)

    Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной \(\ \mathbf{x} \), то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:

    \(\ A B : y=2 x-1 \Rightarrow x=\frac{y+1}{2} \); \(\ A C : y=x^{2} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)

    Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области \(\ D_{1} \) переменная y изменяется от ординаты точки \(\ \mathrm{A} \) до ординат точек \(\ B \) и \(\ F \). Точка \(\ A \) принадлежит параболе \(\ y=x^{2} \) и выше было найдено, что абсцисса этой точки \(\ x_{A}=1 \) , тогда \(\ y_{A}=1^{2}=1 \) . Точка \(\ B \) – точка пересечения двух прямых \(\ x=2 \) и \(\ y=2 x-1 \), а тогда \(\ y_{B}=2 \cdot 2-1=3 \). Итак имеем, что \(\ 1 \leq y \leq 3 \) . Переменная \(\ x \) в области \(\ D_{1} \) изменяется от ветки параболы \(\ x=\sqrt{y} \) до прямой \(\ x=\frac{y+1}{2} \) то есть \(\ D_{1} :\left\{\begin{aligned} 1 \leq y & \leq 3 \\ \sqrt{y} \leq & x \leq \frac{y+1}{2} \end{aligned}\right. \)

    Аналогично для области \(\ D_{2} \) находим, что \(\ D_{2} :\left\{\begin{array}{c}{3 \leq y \leq 4} \\ {\sqrt{y} \leq x \leq 2}\end{array}\right. \)

    Таким образом,

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\int_{1}^{3} d y \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y+1}{2}}\left(x^{2}+2 y\right) d x+\int_{3}^{4} d y \int_{\sqrt{y}}^{2}\left(x^{2}+2 y\right) d x= \)

    \(\ =\int_{1}^{3}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^{\frac{y+1}{2}} d y+\int_{3}^{4}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^{2} d y= \)

    \(\ =\int_{1}^{3}\left(\frac{(y+1)^{3}}{24}+y^{2}+y-\frac{7}{3} y^{\frac{3}{2}}\right) d y+\int_{3}^{4}\left(\frac{8}{3}+4 y-\frac{7}{3} y^{\frac{3}{2}}\right) d y= \)

    \(\ =\left.\left[\frac{(y+1)^{4}}{96}+\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}-\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_{1} ^{3}+\left.\left[\frac{8 y}{3}+2 y^{2}-\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_{3} ^{4}= \)

    \(\ =\left[\frac{8}{3}+9+\frac{9}{2}-\frac{42 \sqrt{3}}{5}-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{14}{15}\right)\right]+ \)

    \(\ +\left[\frac{32}{3}+32-\frac{448}{15}-\left(8+18-\frac{42 \sqrt{3}}{5}\right)\right]=\frac{29}{10} \)

  • Ответ

    \(\ \iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y=\frac{29}{10} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ