Узнать цену работы
Статьи по теме

Двойной интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных есть двойной интеграл.

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области \(\ \mathrm{D} \), принадлежащей плоскости \(\ \mathrm{Oxy} \), задана непрерывная функция \(\ u=f(x ; y) \) . Разобьем эту область на n элементарных областей \(\ D_{i}(i=\overline{1 ; n}) \) , площади которых будем обозначать как \(\ \Delta S_{i} \) , а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через \(\ d_{i} \)

В каждой элементарной области \(\ D_{i} \) выберем произвольную точку \(\ M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right) \). Значение функции \(\ f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \)в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

\(\ f\left(x_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
; y_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \Delta S_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+f\left(x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
; y_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \Delta S_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\ldots+f\left(x_{n} ; y_{n}\right) \Delta S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i} \)

Полученная сумма называется интегральной суммой функции \(\ u=f(x ; y) \) в области \(\ D \).

Найдем предел указанной интегральной суммы при \(\ n \rightarrow \infty \) таким образом, чтобы \(\ \max d_{i} \rightarrow 0 \). Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области \(\ \mathrm{D} \) на элементарные области, ни от способа выбора в них точек \(\ M_{i} \) , то он называется двойным интегралом от функции \(\ u=f(x ; y) \) области \(\ \mathrm{D} \) и обозначается \(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d s \). Итак, двойной интеграл определяется равенством

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\lim _{\max _{i} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; y_{i}\right) \Delta S_{i} \)

Область \(\ \mathrm{D} \) называется областью интегрирования, \(\ x \) и \(\ y \) – переменные интегрирования, функция \(\ u=f(x ; y) \) – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области \(\ d x d y=d S \) – элементом площади.

Свойства двойного интеграла

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

\(\ \iint_{D} C \cdot f(x ; y) d x d y=C \cdot \iint_{D} f(x ; y) d x d y \)

где \(\ C=\mathrm{const} \)

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

\(\ \iint_{D}[f(x ; y) \pm g(x ; y)] d x d y=\iint_{D} f(x ; y) d x d y \pm \iint_{D} g(x ; y) d x d y \)

ЗАМЕЧАНИЕ

Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых.

3. Если область интегрирования \(\ \mathrm{D} \) можно разбить на две области \(\ D_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\ D_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\) , например, как это показано на рисунке 2, то

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\iint_{D_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} f(x ; y) d x d y+\iint_{D_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} f(x ; y) d x d y \)

4. Если в области интегрирования \(\ D \) функция \(\ f(x ; y) \geq 0 \) , то и двойной интеграл \(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq 0 \).

5. Если функции \(\ f(x ; y) \) и \(\ g(x ; y) \) в области \(\ \mathrm{D} \) удовлетворяют неравенству \(\ f(x ; y) \geq g(x ; y) \) , то справедливо и неравенство

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y \geq \iint_{D} g(x ; y) d x d y \)

6. \(\ \iint_{D} d x d y=\iint_{D} d S=S \) , где \(\ \mathrm{S} \) – это площадь области \(\ D \).

7. Если функция \(\ u=f(x ; y) \) непрерывна в замкнутой области \(\ D \), площадь которой равна \(\ \mathrm{S} \), то

\(\ m \cdot S \leq \iint_{D} f(x ; y) d x d y \leq M \cdot S \)

где \(\ m \) и \(\ M \) – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области \(\ D \) соответственно.

8. Если функция \(\ u=f(x ; y) \) непрерывна в замкнутой области \(\ D \), площадь которой равна \(\ S \), то в этой области существует такая точка \(\ M_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\left(x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
; y_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \)что имеет место равенство:

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=f\left(x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
; y_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \cdot S \)

Величина \(\ f\left(x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
; y_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\right)=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{S} \iint_{D} f(x ; y) d x d y \) называется средним значением функции \(\ u=f(x ; y) \) в область \(\ D \).

Пусть область интегрирования \(\ D \) – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями \(\ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a} \) , \(\ x=b \) , \(\ (a \leq x \leq b) \) , \(\ y=c \) , \(\ y=d \) , \(\ (c \leq y \leq d) \) (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{c}^{d} f(x ; y) d y \) или

\(\ \iint_{D} f(x ; y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{a}^{b} f(x ; y) d x \)

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл \(\ \int_{c}^{d} f(x ; y) d y \) называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная x сохраняет на отрезке интегрирования \(\ [c ; d] \) постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция \(\ f(x ; y) \) – функция одной переменной y. В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной \(\ x \).

ЗАМЕЧАНИЕ

Вычисление повторного интеграла нужно начинать с вычисления внутреннего интеграла.

После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной \(\ x \). В результате второго интегрирования получаем уже число.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Вычислить двойной интеграл \(\ \iint_{D}\left(6 x y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x d y \) , где область \(\ D \) – квадрат со сторонами \(\ x=0 \), \(\ x=1 \), \(\ y=2 \), \(\ y=3 \). В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной \(\ y \), а внешний – по \(\ x \). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.

  • Решение

    Вначале изобразим область интегрирования (рис. 4). Запишем заданный двойной интеграл через повторные: \(\ \iint_{D}\left(6 x y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x d y=\int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    d x \int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(6 x y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d y \)

    Внутреннее (первое) интегрирование будем выполнять по переменной y (при этом считаем, что \(\ x \) – константа), а внешнее (второе) – по переменной \(\ x \):

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x d y=\int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    d x \int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(6 x y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d y= \)

    \(\ =\int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    d x\left[6 x \int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d y-12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y d y\right]=\int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(6 x \cdot\left.\frac{y^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot\left.\frac{y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) d x= \)

    \(\ =\int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left[2 x\left(3^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -2^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)-6 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(3^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)\right] d x=\int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(38 x-30 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) d x= \)

    \(\ =\int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    38 x d x-\int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    30 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=38 \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x d x-30 \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=38 \cdot\left.\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -30 \cdot\left.\frac{x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    = \)

    \(\ =19\left(1^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -0^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)-10\left(1^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -0^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)=19-10=9 \)

    Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ x \) (считая, что y есть постоянной), а внешнее – по переменной \(\ y= \):

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x d y=\int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    d y \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(6 x y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x= \)

    \(\ =\int_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left[6 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x d x-12 y \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x\right] d y=\int_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left[6 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot\left.\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -12 y \cdot\left.\frac{x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right]_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ] d y= \)

    \(\ =\int_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(3 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4 y\right) d y=\left.\left(3 \cdot \frac{y^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -4 \cdot \frac{y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)\right|_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =27-8-2(9-4)=19-10=9 \)

  • Ответ

    \(\ \iint_{D}\left(6 x y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -12 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y\right) d x d y=9 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Вычислить двойной интеграл \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y \) , если область \(\ D \) ограничена линиями \(\ y=x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , \(\ x=2 \) , \(\ y=2 x-1 \). Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.

  • Решение

    Строим заданную область \(\ \square \) (рис. 5). Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ y \), а внешнее – по \(\ x \):

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\phi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x)}^{\phi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x)}\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d y \)

    Контур области \(\ D \) пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках (рис. 6).

    Найдем пределы интегрирования. Переменная x изменяется от абсциссы точки \(\ A \) к абсциссе точек \(\ B \) и \(\ \mathrm{C} \). Координаты точки \(\ \mathrm{A} \) найдем как координаты точки пересечения графиков функций \(\ y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)и \(\ y=2 x-1 \) .

    \(\ \left\{\begin{array}{c}{y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ,} \\ {y=2 x-1}\end{array} \Rightarrow x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 x-1 \Rightarrow x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2 x+1=0 \Rightarrow(x-1)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \Rightarrow x_{A}=1\right. \)

    Так как точки \(\ B \) и \(\ \mathrm{C} \) лежать на прямой \(\ x=2 \), то \(\ x_{B}=x_{C}=2 \) . Итак, \(\ 1 \leq x \leq 2 \) . Далее на отрезке \(\ [1 ; 2] \) выбираем произвольную точку \(\ x \), через нее проводим прямую, параллельную оси \(\ Oy \), и на этой прямой рассмотрим отрезок \(\ KL \), принадлежащий области \(\ D \).

    Область \(\ D \) ограничена снизу прямой \(\ y=2 x-1 \), а сверху – веткой параболы \(\ y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) . Переменная y изменяется в заданной области \(\ D \) от ее значения \(\ 2 x-1 \) на нижней части контура \(\ \mathrm{ABC} \) до ее значения \(\ x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) на верхней части этого контура.

    Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.

    Таким образом, \(\ 2 x-1 \leq y \leq x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , а тогда область \(\ D \) задается следующими неравенствами:

    \(\ D :\left\{\begin{array}{c}{1 \leq x \leq 2} \\ {2 x-1 \leq y \leq x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\end{array}\right. \)

    Итак,

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x \int_{2 x-1}^{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d y=\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x\left.\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y+y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)\right|_{2 x-1} ^{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }= \)

    \(\ =\int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left[x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot(2 x-1)+(2 x-1)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)\right] d x= \)

    \(\ =\int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(2 x^{4}-2 x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 x-1\right) d x=\left.\left(\frac{2 x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x\right)\right|_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    = \)

    \(\ =\frac{64}{5}-8-8+8-2-\left(\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {5}-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1+2-1\right)=\frac{29}{10} \)

    Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной \(\ x \), а внешнее – по \(\ y \). То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (y)}^{\psi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y)}\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x \)

    С рисунка 6 области \(\ D \) видно, что левая граница контура области – одна линия (положительная ветка параболы \(\ y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , а его правая часть состоит из двух линий \(\ \mathrm{AB} \) (отрезок прямой \(\ y=2 x-1 \)) и \(\ \mathrm{BC} \) (отрезок прямой \(\ x=2 \)), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область \(\ \mathrm{D} \) нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут \(\ D_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -A B F \) и \(\ D_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -B C F \) . Заданная область \(\ D \) будет суммой областей \(\ D_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) и \(\ D_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) (рис. 7). Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\iint_{D_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y+\iint_{D_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y \)

    Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной \(\ \mathbf{x} \), то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:

    \(\ A B : y=2 x-1 \Rightarrow x=\frac{y+1}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \); \(\ A C : y=x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \Rightarrow x=\sqrt{y} \)

    Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области \(\ D_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) переменная y изменяется от ординаты точки \(\ \mathrm{A} \) до ординат точек \(\ B \) и \(\ F \). Точка \(\ A \) принадлежит параболе \(\ y=x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) и выше было найдено, что абсцисса этой точки \(\ x_{A}=1 \) , тогда \(\ y_{A}=1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \) . Точка \(\ B \) – точка пересечения двух прямых \(\ x=2 \) и \(\ y=2 x-1 \), а тогда \(\ y_{B}=2 \cdot 2-1=3 \). Итак имеем, что \(\ 1 \leq y \leq 3 \) . Переменная \(\ x \) в области \(\ D_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) изменяется от ветки параболы \(\ x=\sqrt{y} \) до прямой \(\ x=\frac{y+1}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) то есть \(\ D_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    :\left\{\begin{aligned} 1 \leq y & \leq 3 \\ \sqrt{y} \leq & x \leq \frac{y+1}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \end{aligned}\right. \)

    Аналогично для области \(\ D_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) находим, что \(\ D_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    :\left\{\begin{array}{c}{3 \leq y \leq 4} \\ {\sqrt{y} \leq x \leq 2}\end{array}\right. \)

    Таким образом,

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    d y \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y+1}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x+\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{4} d y \int_{\sqrt{y}}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x= \)

    \(\ =\int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left.\left(\frac{x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^{\frac{y+1}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } d y+\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{4}\left.\left(\frac{x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 x y\right)\right|_{\sqrt{y}} ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d y= \)

    \(\ =\int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(\frac{(y+1)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{24}+y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +y-\frac{7}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\right) d y+\int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{4}\left(\frac{8}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +4 y-\frac{7}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\right) d y= \)

    \(\ =\left.\left[\frac{(y+1)^{4}}{96}+\frac{y^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\frac{y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\left.\left[\frac{8 y}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac{14}{15} \sqrt{y^{5}}\right]\right|_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{4}= \)

    \(\ =\left[\frac{8}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +9+\frac{9}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac{42 \sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{5}-\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {6}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac{14}{15}\right)\right]+ \)

    \(\ +\left[\frac{32}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +32-\frac{448}{15}-\left(8+18-\frac{42 \sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{5}\right)\right]=\frac{29}{10} \)

  • Ответ

    \(\ \iint_{D}\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y\right) d x d y=\frac{29}{10} \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы