Формула Ньютона-Лейбница
Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , а \(\ F(x) \) является некоторой ее первообразной, т. е. \(\ F^{\prime}(x)=f(x) \) , то имеет место формула Ньютона-Лейбница
$\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) \)
Эта формула устанавливает связь между определенными и неопределенными интегралами.
Разность \(\ F(b)-F(a) \) условно обозначается символом \(\ \left.(F(x))\right|_{a} ^{b} \) , поэтому формула Ньютона-Лейбница также записывается в виде:
\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\left.(F(x))\right|_{a} ^{b} \)
ПРИМЕР 1
Вычислить определенный интеграл
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}
\)
Согласно таблице интегралов и формулы Ньютона-Лейбница мы имеем:
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=\operatorname{arctg}\left.x\right|_{0} ^{1}=\operatorname{arctg} 1-\operatorname{arctg} 0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}
\)
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{4}
\)
ПРИМЕР 2
Рассчитать
\(\
\int_{1}^{2} x^{2} d x
\)
Одним из первообразных подынтегрального выражения \(\
f(x)=x^{2}
\) является
\(\
F(x)=\int x^{2} d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}
\)
В самом деле,
\(\
F^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot\left(x^{3}\right)^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}=x^{2}=f(x)
\)
Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, данный определенный интеграл:
\(\
\int_{1}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{2} ^{1}=\frac{1}{3} \cdot\left(2^{3}-1^{3}\right)=\frac{7}{3}
\)
\(\
\int_{1}^{2} x^{2} d x=\frac{7}{3}
\)