Узнать цену работы
Статьи по теме

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , а \(\ F(x) \) является некоторой ее первообразной, т. е. \(\ F^{\prime}(x)=f(x) \) , то имеет место формула Ньютона-Лейбница

$\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) \)

Эта формула устанавливает связь между определенными и неопределенными интегралами.

Разность \(\ F(b)-F(a) \) условно обозначается символом \(\ \left.(F(x))\right|_{a} ^{b} \) , поэтому формула Ньютона-Лейбница также записывается в виде:

\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\left.(F(x))\right|_{a} ^{b} \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Вычислить определенный интеграл

    \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}} \)

  • Решение.

    Согласно таблице интегралов и формулы Ньютона-Лейбница мы имеем:

    \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=\operatorname{arctg}\left.x\right|_{0} ^{1}=\operatorname{arctg} 1-\operatorname{arctg} 0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{4} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Рассчитать

    \(\ \int_{1}^{2} x^{2} d x \)

  • Решение.

    Одним из первообразных подынтегрального выражения \(\ f(x)=x^{2} \) является

    \(\ F(x)=\int x^{2} d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3} \)

    В самом деле,

    \(\ F^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot\left(x^{3}\right)^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}=x^{2}=f(x) \)

    Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, данный определенный интеграл:

    \(\ \int_{1}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{2} ^{1}=\frac{1}{3} \cdot\left(2^{3}-1^{3}\right)=\frac{7}{3} \)

  • Ответ

    \(\ \int_{1}^{2} x^{2} d x=\frac{7}{3} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ