Узнать цену работы
Статьи по теме

Формулы интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл является выражением вида \(\ \int f(x) d x \) . Здесь \(\ \int \) - знак интеграла, \(\ f(x) \) - подынтегральное выражение, \(\ d x \) - дифференциальный знак \(\ f(x) d x \) - подынтегральное выражение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ F(x) \) называется примитивной к функции \(\ f(x) \), если \(\ F^{\prime}(x)=f(x) \).

Неопределенный интеграл - это совокупность всех примитивов, т. е.

\(\ \int f(x) d x=F(x)+C \)

где \(\ \mathrm{C} \) - некоторая константа.

Найти неопределенный интеграл - значит найти определенную функцию \(\ F(x)+C \) , используя некоторые правила, методы и таблицу интегралов. Все интеграционные правила и формулы для интеграла подробно анализируются ниже.

Интегральная таблица

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline \int d u=u+C& \int \frac{d u}{\cos ^{2} u}=\operatorname{tg} u+C \\ \hline \int u^{k} d u=\frac{u^{k+1}}{k+1}+C, k \neq-1& \int \frac{d u}{\sin ^{2} u}=-\operatorname{ctg} u+C \\ \hline \int \frac{d u}{u}=\ln |u|+C& \int \frac{d u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin \frac{u}{a}+C \\ \hline \int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C& \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}+\alpha}}=\ln \left|u+\sqrt{u^{2}+\alpha}\right|+C \\ \hline \int e^{u} d u=e^{u}+C& \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}+\alpha}}=\ln \left|u+\sqrt{u^{2}+\alpha}\right|+C \\ \hline \int \sin u d u=-\cos u+C& \int \frac{d u}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \frac{u-a}{u+a}+C \\ \hline \int \cos u d u=\sin u+C& \\ \hline \int \operatorname{sh} u \cdot d u=\operatorname{ch} u+C& \\ \hline \int \operatorname{ch} u \cdot d u=\operatorname{sh} u+C& \\ \hline \end{array} \)

Правила интеграции

\(\ \left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) \)

\(\ \int d F(x)=\int F^{\prime}(x) d x=F(x)+C \)

\(\ d\left(\int f(x) d x\right)=\left(\int f(x) d x\right)^{\prime} d x=f(x) d x \)

\(\ \int C \cdot f(x) d x=C \cdot \int f(x) d x \)

\(\ \int(f(x) \pm g(x)) d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x \)

Если

\(\ \int f(x) d x=F(x)+C \)

тот

\(\ \int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Поиски Интеграла

    \(\ \int \frac{d x}{x^{2}-16} \)

  • Решение

    Согласно интегральной формуле

    \(\ \int \frac{d u}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \frac{u-a}{u+a}+C \)

    с \(\ \mathrm{a}=4 \) имеем

    \(\ \int \frac{d x}{x^{2}-16}=\frac{1}{2 \cdot 4} \ln \frac{x-4}{x+4}+C=\frac{1}{8} \ln \frac{x-4}{x+4}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{d x}{x^{2}-16}=\frac{1}{8} \ln \frac{x-4}{x+4}+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Поиски неопределенного интеграла

    \(\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+12}} \)

  • Решение

    Применим интегральную формулу

    \(\ \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}+\alpha}}=\ln \left|u+\sqrt{u^{2}+\alpha}\right|+C \)

    С \(\ \alpha=12 \) и \(\ u=x \) получаем:

    \(\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+12}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+12}\right|+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+12}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+12}\right|+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ