Интеграл от натурального логарифма
\(\ \int \ln x d x=x \ln x-x+C \) Формула может быть получена путем применения метода интегрирования по частям \(\ \int u d v=u v-\int v d u \) к заданному интегралу:
\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \)
Примеры решения задач на тему «Интеграл натурального логарифма»
ПРИМЕР 1
Найти интеграл \(\
\int \pi^{2} \ln x d x
\)
О свойствах интегралов константа может быть выведена из знака интеграла, т. е.
\(\
\int \pi^{2} \ln x d x=\pi^{2} \int \ln x d x
\)
Далее, согласно формуле, имеем:
\(\
\int \pi^{2} \ln x d x=\pi^{2} \int \ln x d x=\pi^{2}(x \ln x-x)+C
\)
\(\
\int \pi^{2} \ln x d x=\pi^{2}(x \ln x-x)+C
\)
ПРИМЕР 2
Решить интеграл \(\
\int \ln (x+1) d x
\)
Произведем замену переменных в заданном интеграле:
\(\
\int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C
\)
Возвращаясь к исходной интегральной переменной x, получаем:
\(\
\int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C
\)
\(\
\int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C
\)