Куб разности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус трехкратное произведение квадрата первого на второе, плюс трехкратное произведение первого на квадрат второго, минус куб второе выражение.
\(\
(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}
\)
Эта формула истинна и справа налево, т. е. Равенство
\(\
a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}
\)
Примеры решения задач на «разностном кубе»
ПРИМЕР 1
построения куба биномиального \(\
2 x-y
\)
Используя формулу для сокращенного умножения «куб разницы», получаем:
\(\
(2 x-y)^{3}=(2 x)^{3}-3 \cdot(2 x)^{2} \cdot y+3 \cdot 2 x \cdot y^{2}-y^{3}=
\)
\(\
=8 x^{3}-3 \cdot 4 x^{2} \cdot y+6 x y^{2}-y^{3}=8 x^{3}-12 x^{2} y+6 x y^{2}-y^{3}
\)
\(\
(2 x-y)^{3}=8 x^{3}-12 x^{2} y+6 x y^{2}-y^{3}
\)
ПРИМЕР 2
Напишите выражение \(\
27 a^{3}-54 a^{2} b+36 a b^{2}-8 b^{3}
\) в виде куба с двумя биномами.
Перепишем данное выражение в виде:
\(\
27 a^{3}-54 a^{2} b+36 a b^{2}-8 b^{3}=3^{3} \cdot a^{3}-3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot a^{2} b+3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot a b^{2}-2^{3} \cdot b^{3}=
\)
\(\
=(3 a)^{3}-3 \cdot 3^{2} a^{2} \cdot 2 b+3 \cdot 3 a \cdot 2^{2} b^{2}-(2 b)^{3}=
\)
\(\
=(3 a)^{3}-3 \cdot(3 a)^{2} \cdot 2 b+3 \cdot 3 a \cdot(2 b)^{2}-(2 b)^{3}=(3 a-2 b)^{3}
\)
\(\
27 a^{3}-54 a^{2} b+36 a b^{2}-8 b^{3}=(3 a-2 b)^{3}
\)