Узнать цену работы
Статьи по теме

Метод непосредственного интегрирования

Метод прямой интеграции основан на применении правил интеграции и использовании интегралов таблиц. В простейших примерах, чтобы применить этот метод, достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные значения, чтобы вывести ее из знака интеграла. В некоторых случаях выражение под знаком интеграла может быть упрощено с помощью алгебраических преобразований, чтобы можно было применить указанный метод.

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Поиски Интеграла

    \(\ \int\left(6 x^{5}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x \)

  • Решение. Разложим данный интеграл для суммы интегралов:

    \(\ \int\left(6 x^{5}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=\int 6 x^{5} d x+\int \frac{2}{x} d x-\int \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \)

    Константы выведены из знака интеграла:

    \(\ \int\left(6 x^{5}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=6 \int x^{5} d x+2 \int \frac{d x}{x}-2 \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \)

    Далее мы используем таблицу интегралов:

    \(\ \int\left(6 x^{5}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=6 \cdot \frac{x^{6}}{6}+2 \cdot \ln |x|-2 \arcsin x+C= \)

    \(\ =x^{6}+2 \cdot \ln |x|-2 \arcsin x+C \)

  • \(\ \int\left(6 x^{5}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=x^{6}+2 \cdot \ln |x|-2 \arcsin x+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Решить интеграл

    \(\ \int\left(x^{2}+\sqrt{x}\right)^{2} d x \)

  • Решение.

    Применим к подынтегральной формуле сокращенную формулу умножения «квадрат суммы»:

    \(\ \int\left(x^{2}+\sqrt{x}\right)^{2} d x=\int\left[\left(x^{2}\right)^{2}+2 \cdot x^{2} \cdot \sqrt{x}+(\sqrt{x})^{2}\right] d x= \)

    \(\ =\int\left(x^{4}+2 x^{\frac{5}{2}}+x\right) d x=\int x^{4} d x+\int 2 x^{\frac{5}{2}} d x+\int x d x=\frac{x^{5}}{5}+2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}+\frac{x^{2}}{2}+C= \)

    \(\ =\frac{x^{5}}{5}+\frac{4}{7} \sqrt{x^{7}}+\frac{x^{2}}{2}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int\left(x^{2}+\sqrt{x}\right)^{2} d x=\frac{x^{5}}{5}+\frac{4}{7} \sqrt{x^{7}}+\frac{x^{2}}{2}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ