Узнать цену работы
Статьи по теме

Модуль комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу \(\ z=x+i y \) можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: \(\ \{x, y\} \) и радиус-вектор \(\ \mathbf{r} \) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем комплексного числа \(\ z=x+i y \) называется выражение \(\ r=|z|=\sqrt{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+y^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \)

Таким образом, модуль вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти модуль числа \(\ z=-5+15 i \) .

  • Решение

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=-5+15 i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=-5 \), мнимой частью является \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=15 \) . Следовательно, модуль числа – это выражение:

    \(\ r=\sqrt{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{(-5)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +15^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{25+225}=\sqrt{250} \)

  • Ответ

    \(\ r=\sqrt{250} \)

    Если \(\ z \) является действительным числом, то его модуль \(\ r=|z| \) равен абсолютной величине этого действительного числа.

    Например: \(\ z=-17, r=|-17|=17 \)

    Свойства модуля

    1.Модуль комплексного числа не отрицателен: \(\ |z| \geq 0 \) , при этом \(\ |z|=0 \) в том и только том случае, если \(\ \mathrm{z}=\mathrm{O} \);

    2.Модуль суммы двух комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей: \(\ \left|z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right| \leq\left|z_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|+\left|z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right| \)

    3.Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей: \(\ \left|z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|=\left|z_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right| \cdot\left|z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right| \) , в том числе \(\ \left|q \cdot z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|=q \cdot\left|z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|, q \in R \)

    4.Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей: \(\ \left|z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \div z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|=\left|z_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right| \div\left|z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right| \)

    5. \(\ \left|z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|=\sqrt{\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \) т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти частное модулей комплексных чисел \(\ z ]=15 i \), \(\ \mathrm{z} 2=1+\mathrm{i} \).

  • Решение Модуль комплексного числа \(\ z^{1=15 i} \) равен \(\ r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\sqrt{0^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +15^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=15 \) модуль комплексного числа \(\ z 2=1+i \) равен \(\ r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt{1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Следовательно, частное модулей равно:

    \(\ r_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \div r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{15}{\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=7,5 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \approx 10,6066 \)

  • Ответ: \(\ r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \div r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =7,5 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \approx 10,6066 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти расстояние между числами \(\ z=1-3 i \), \(\ \mathrm{z} 2=-2+2 \mathrm{i} \) на комплексной плоскости.

  • Решение

    Расстояние между двумя комплексными числами находится как модуль разности комплексных чисел. Применяя соответствующую формулу, получаем:

    \(\ \left|z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right|=\sqrt{\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{(1-(-2))^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +(-2-2)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{34} \)

  • Ответ

    Расстояние между комплексными числами \(\ z=1-3 i \), \(\ z 2=-2+2 i \) равно \(\ \sqrt{34} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы