Узнать цену работы
Статьи по теме

Модуль комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу \(\ z=x+i y \) можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: \(\ \{x, y\} \) и радиус-вектор \(\ \mathbf{r} \) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем комплексного числа \(\ z=x+i y \) называется выражение \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

Таким образом, модуль вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти модуль числа \(\ z=-5+15 i \) .

  • Решение

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=-5+15 i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=-5 \), мнимой частью является \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=15 \) . Следовательно, модуль числа – это выражение:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+15^{2}}=\sqrt{25+225}=\sqrt{250} \)

  • Ответ

    \(\ r=\sqrt{250} \)

    Если \(\ z \) является действительным числом, то его модуль \(\ r=|z| \) равен абсолютной величине этого действительного числа.

    Например: \(\ z=-17, r=|-17|=17 \)

    Свойства модуля

    1.Модуль комплексного числа не отрицателен: \(\ |z| \geq 0 \) , при этом \(\ |z|=0 \) в том и только том случае, если \(\ \mathrm{z}=\mathrm{O} \);

    2.Модуль суммы двух комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей: \(\ \left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \)

    3.Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей: \(\ \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \) , в том числе \(\ \left|q \cdot z_{2}\right|=q \cdot\left|z_{2}\right|, q \in R \)

    4.Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей: \(\ \left|z_{1} \div z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \div\left|z_{2}\right| \)

    5. \(\ \left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \) т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти частное модулей комплексных чисел \(\ z ]=15 i \), \(\ \mathrm{z} 2=1+\mathrm{i} \).

  • Решение Модуль комплексного числа \(\ z^{1=15 i} \) равен \(\ r_{1}=\sqrt{0^{2}+15^{2}}=15 \) модуль комплексного числа \(\ z 2=1+i \) равен \(\ r_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \)

    Следовательно, частное модулей равно:

    \(\ r_{1} \div r_{2}=\frac{15}{\sqrt{2}}=7,5 \sqrt{2} \approx 10,6066 \)

  • Ответ: \(\ r_{1} \div r_{2}=7,5 \sqrt{2} \approx 10,6066 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти расстояние между числами \(\ z=1-3 i \), \(\ \mathrm{z} 2=-2+2 \mathrm{i} \) на комплексной плоскости.

  • Решение

    Расстояние между двумя комплексными числами находится как модуль разности комплексных чисел. Применяя соответствующую формулу, получаем:

    \(\ \left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{34} \)

  • Ответ

    Расстояние между комплексными числами \(\ z=1-3 i \), \(\ z 2=-2+2 i \) равно \(\ \sqrt{34} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ