Узнать цену работы
Статьи по теме

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла \(\ \alpha \) справедливо: \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)

Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) , тогда \(\ \cos \alpha=x_{0}=O B \) , а \(\ \sin \alpha=y_{0}=A B \). В \(\ \Delta A B O \quad A O=1 \) , как радиус единичной окружности. Так как треугольник \(\ \Delta A B O \)прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора: \(\ O B^{2}+A B^{2}=A O^{2} \)

Учитывая, что \(\ O B=\cos \alpha \), \(\ A B=\sin \alpha \) и \(\ A O=1 \) , получаем \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha_{i}} \); \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha} \)

Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол \(\ \alpha \) .

Следствие 2.

Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть \(\ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n \), \(\ (n \in Z) \) тогда \(\ \cos \alpha \neq 0 \) . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\ \cos ^{2} \alpha \) : \(\ \frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \) после преобразования получим \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \)

2. Пусть \(\ \alpha \neq \pi n \) тогда \(\ (n \in Z) \) .Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\ \sin ^{2} \alpha \) : \(\ \frac{\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} \)

после преобразования получим \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти значение \(\ \cos \alpha \) если \(\ \sin \alpha=\frac{3}{5} \) и \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \)

  • Решение

    По следствию 1 из основного тригонометрического тождества имеем \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha} \)

    Подставляя в эту формулу заданное значение \(\ \sin \alpha=\frac{3}{5} \) , получаем \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{25-9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\pm \frac{4}{5} \)

    Рис. 2

    Далее для определения знака косинуса, используем дополнительное условие, что \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \) . Значит, угол \(\ \mathrm{Q} \) находится в первой четверти тригонометрического круга (рис. 2), а здесь \(\ \cos \alpha>0 \) . Таким образом, окончательно получим \(\ \cos \alpha=\frac{4}{5} \)

  • Ответ: \(\ \cos \alpha=\frac{4}{5} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти значение \(\ \sin \alpha \) если \(\ \cos \alpha=-\frac{1}{3} \) и \(\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi \)

  • Решение

    По следствию 1 из основного тригонометрического тождества, для нахождения синуса справедлива формула \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha} \)

    Подставляем в неё заданное значение \(\ \cos \alpha=-\frac{1}{3} \) , получим \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{9-1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)

    Рис. 3

    Далее для определения знака искомого значения синуса, воспользуемся дополнительным условием о расположении угла: \(\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi \) . Угол \(\ \alpha \) лежит во второй четверти тригонометрического круга (рис. 3), поэтому углу соответствуют только положительные значения синуса, поэтому окончательно: \(\ \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \)

  • Ответ: \(\ \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Вычислить \(\ \sin \alpha \) и \(\ \cos \alpha \) , если \(\ \operatorname{tg} \alpha=3 \) и \(\ \pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2} \)

  • Решение

    По следствию 2, тангенс и косинус одного и того же угла связаны соотношением: \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \)

    Выразим из него косинус: \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+1} \)

    Подставляя в это равенство заданное значение \(\ \operatorname{tg} \alpha=3 \) , получим \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{3^{2}+1}=\frac{1}{10} \Rightarrow \cos \alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{10}} \)

    Рис. 4

    По первому следствию из основного тригонометрического тождества \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha} \)

    а тогда \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\frac{1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{10-1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}=\pm \frac{3}{\sqrt{10}} \)

    Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Так как \(\ \pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2} \) , следовательно, угол \(\ \alpha \) лежит в третьей четверти (рис. 4), там косинус и синус отрицательные. Тогда окончательно, получим \(\ \cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}} \); \(\ \sin \alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}} \)

  • Ответ\(\ \cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}} \); \(\ \sin \alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}} \)

    ПРИМЕР 4

  • Задание

    Вычислить \(\ \sin \alpha \), \(\ \cos \alpha \) и \(\ \operatorname{tg} \alpha \) , если \(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{5}{12} \) и \(\ -\frac{\pi}{2}<\alpha<0 \)

  • Решение

    Сразу можно найти тангенс: \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{-\frac{5}{12}}=-\frac{12}{5} \)

    По следствию 2 из основного тригонометрического тождества, котангенс и синус связаны соотношением: \(\ 1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} \)

    Выразим из него синус: \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha+1} \)

    Подставляя в это равенство, заданное значение \(\ \operatorname{ctg} \alpha=-\frac{5}{12} \) , получим \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}+1}=\frac{1}{\frac{25}{144}+1}=\frac{144}{25+144}=\frac{144}{169} \), \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{\frac{144}{169}}=\pm \frac{12}{13} \)

    По первому следствию из основного тригонометрического тождества, \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha} \)

    найдем косинус \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\frac{144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{169-144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13} \)

    Рис. 5

    Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Угол \(\ \alpha \) лежит в пределах \(\ -\frac{\pi}{2}<\alpha<0 \) , следовательно, он принадлежит четвертой четверти (рис. 5), там косинус положительный, а синус отрицательный. Окончательно, получим \(\ \sin \alpha=-\frac{12}{13} \); \(\ \cos \alpha=\frac{5}{13} \)

  • Ответ: \(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{12}{5} \), \(\ \cos \alpha=\frac{5}{13} \), \(\ \sin \alpha=-\frac{12}{13} \)

    Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    Вычислить \(\ \sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \)

  • Решение

    Сгруппируем первые два слагаемые заданного равенства и вынесем за скобки общий множитель \(\ \sin ^{2} \alpha \) :

    \(\ \sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha \cdot\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)-\sin ^{2} \alpha \) полученное выражение в скобках есть основное тригонометрическое тождество и равно 1:

    \(\ \sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha \cdot 1-\sin ^{2} \alpha=0 \)

  • Ответ: \(\ \sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=0 \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ