Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрические функции - это математические функции, зависящие от угла. Тригонометрические функции обычно определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины некоторых сегментов в единичном круге.

Определения и формулы всех тригонометрических функций

Рассмотрим произвольный правый треугольник. \(\ \Delta A B C \), \(\ \angle C=90^{\circ} \) углы \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) – острые. (рис. 1). Тогда \(\ A B=c \) – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет \(\ B C=a \) – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу \(\ \alpha \) . Катет \(\ A C=b \) – это катет, прилежащий к углу \(\ \alpha \) Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синусом угла \(\ \boldsymbol{\alpha} \) называется отношение противолежащего катета \(\ \mathrm{BC} \) к гипотенузе \(\ \mathrm{AB} \) или \(\ \sin \alpha=\frac{a}{c} \)

Это отношение не зависит от выбора \(\ \Delta A B C \) , содержащего угол \(\ \alpha \) ,так как все такие треугольники подобны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинусом угла \(\ \alpha \) называется отношение прилежащего катета \(\ \mathrm{AC} \) к гипотенузе \(\ \mathrm{AB} \) или \(\ \cos \alpha=\frac{b}{c} \)

  • Замечание 1

    Катет \(\ \mathrm{AC} \), прилежащий к углу \(\ \alpha \) , является противолежащим по отношению к углу \(\ \boldsymbol{\beta} \) . Аналогично с катетом \(\ \mathrm{BC} \), он противолежащий для угла \(\ \alpha \) и прилежащий к углу \(\ \beta \) . Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:

    \(\ \sin \alpha=\frac{a}{c}=\cos \beta \), \(\ \cos \alpha=\frac{b}{c}=\sin \beta \)

    Тангенсом угла \(\ \alpha \) называется отношение противолежащего катета \(\ \mathrm{BC} \) к прилежащему катету \(\ \mathrm{AC} \) или \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{a}{b} \)

    Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом: \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Котангенсом угла \(\ \alpha \) называется отношение прилежащего катета \(\ \mathrm{AC} \) к противолежащему катету \(\ \mathrm{BC} \) или \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{b}{a} \)

    Котангенс выражается через косину и синус следующим образом: \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

  • Замечание 2

    Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот: \(\ \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{ctg} \beta=\frac{a}{b} \); \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\operatorname{tg} \beta=\frac{b}{a} \)

    Секансом угла \(\ \alpha \) называется отношение гипотенузы \(\ \mathrm{AB} \) к прилежащему катету или \(\ \sec \alpha=\frac{c}{b} \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Секанс выражается через косинус следующим образом: \(\ \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha} \)

    Косекансом угла \(\ \alpha \) называется отношение гипотенузы \(\ \mathrm{AB} \) к противолежащему катету \(\ \mathrm{BC} \) или \(\ \csc \alpha=\frac{c}{a} \)

    Косеканс можно выразить через синус: \(\ \csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha} \)

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1

  • Задание

    В прямоугольном треугольнике катеты имеют длины 4 см и 3 см. Вычислить значения всех тригонометрических функций для угла прилежащего к меньшему катету.

    Рис. 2

  • Решение

    Сделаем рисунок (рис. 2). По условию, \(\ a=4 \) , \(\ b=3 \) , а угол \(\ Q \) есть угол, прилежащий к меньшему катету. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы: \(\ c^{2}=a^{2}+b^{2} \Rightarrow c^{2}=4^{2}+3^{2} \Rightarrow c^{2}=16+9 \Rightarrow c^{2}=25 \Rightarrow c=5 c m \)

    По определению, синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\ \sin \alpha=\frac{a}{c} \Rightarrow \sin \alpha=\frac{4}{5} \)

    Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе \(\ \cos \alpha=\frac{b}{c} \Rightarrow \cos \alpha=\frac{3}{5} \)

    Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{a}{b} \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha=\frac{4}{3} \)

    Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{b}{a} \Rightarrow \operatorname{ctg} \alpha=\frac{3}{4} \)

    Секанс – это отношение гипотенузы к прилежащему катету \(\ \sec \alpha=\frac{c}{b} \Rightarrow \sec \alpha=\frac{5}{3} \)

    Косеканс – это отношение гипотенузы к противолежащему катету \(\ \csc \alpha=\frac{c}{a} \Rightarrow \csc \alpha=\frac{5}{4} \)

  • Ответ\(\ \sin \alpha=\frac{4}{5} \), \(\ \cos \alpha=\frac{3}{5} \), \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{4}{3} \), \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{3}{4} \), \(\ \sec \alpha=\frac{5}{3} \), \(\ \csc \alpha=\frac{5}{4} \)

    Примечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским треугольником». Это простейший треугольник из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза и один из катетов равны соответственно 13 и 5 см. Найти значение косинуса, синуса, тангенса и котангенса для острых углов этого треугольника. Рис. 3

  • Решение

    Рассматриваемый треугольник изображен на рисунке 3. По условию задачи гипотенуза c равна 13 см, а меньший катета \(\ b=5 \) . По теореме Пифагора найдем больший катет: \(\ a^{2}=c^{2}-b^{2} \Rightarrow a^{2}=13^{2}-5^{2} \Rightarrow a^{2}=169-25 \Rightarrow a^{2}=144 \Rightarrow a=12 \mathrm{cm} \)

    Перейдем к нахождению значений тригонометрических функций. Согласно замечанию 1, \(\ \sin \alpha=\frac{a}{c}=\cos \beta \); \(\ \cos \alpha=\frac{b}{c}=\sin \beta \)

    Подставляя заданные значения длины сторон, получим \(\ \sin \alpha=\cos \beta=\frac{12}{13} \); \(\ \cos \alpha=\sin \beta=\frac{5}{13} \)

    По замечанию 2, \(\ \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{ctg} \beta=\frac{a}{b} \) и \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\operatorname{tg} \beta=\frac{b}{a} \) . Учитывая заданные значения сторон, получим \(\ \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{ctg} \beta=\frac{12}{5} \); \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\operatorname{tg} \beta=\frac{5}{12} \)

  • Ответ\(\ \sin \alpha=\cos \beta=\frac{12}{13} \); \(\ \cos \alpha=\sin \beta=\frac{5}{13} \); \(\ \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{ctg} \beta=\frac{12}{5} \); \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\operatorname{tg} \beta=\frac{5}{12} \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ