Первый замечательный предел
Формула первого замечательного предела
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Первым замечательным пределом является предел.
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}
\)
Первый замечательный предел - один:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
Доказательство первого замечательного предела
Рассмотрим односторонние пределы.
\(\
\lim _{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x} ; \quad \lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x}
\)
Докажем, что каждый из этих пределов равен единице. Тогда предел \(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}
\) также будет равен единице.
Пусть \(\
x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)
\) и лежат этот угол на тригонометрической окружности (рис.1).
Рис.1
Этот луч пересечет единичную окружность в точке \(\
k
\) и вертикальную касательную линию, проведенную в точке \(\
A(1 ; 0)
\) в точке \(\
\mathrm{L}
\). Через точку \(\
\mathrm{H}
\) обозначим проекцию точки \(\
k
\) на горизонтальную ось косинусов.
Рассмотрим треугольники OAK, OAL и круглый сектор OAK.
Абсцисса точки \(\
\mathrm{K}
\) равна \(\
O H=\cos x
\) , а ее ордината равна \(\
K H=\sin x
\) (равна высоте (\(\
\triangle O A K
\) ). А потом
\(\
S_{\Delta O A K}=\frac{1}{2} \cdot O A \cdot K H=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x=\frac{\sin x}{2}
\)
Здесь \(\
\mathrm{O} \mathrm{A}=1
\) как радиус тригонометрического круга.
Площадь центрального сектора окружности радиуса \(\
\mathrm{R}=1
\) с центральным углом \(\
x
\) равна
\(\
S_{\text { sect }} \mathrm{OAK}=\frac{1}{2} R^{2} x=\frac{x}{2}
\)
Площадь \(\
\Delta O A L
\)
\(\
S_{\Delta O A L}=\frac{1}{2} \cdot O A \cdot A L=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \operatorname{tg} x=\frac{\operatorname{tg} x}{2}
\)
Итак, неравенство (1) будет переписано в виде:
\(\
\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg} x}{2}
\)
Так как для \(\
x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)
\) все части этого неравенства положительны, то его можно записать следующим образом:
\(\
\frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\operatorname{tg} x}=\operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x}
\)
После умножения на \(\
\sin x>0
\)d получаем:
\(\
1>\frac{\sin x}{x}>\cos x
\)
или же
\(\
\cos x<\frac{\sin x}{x}<1
\)
Переходя во всех частях последнего неравенства к пределу в \(\
x \rightarrow 0+0
\) , получим:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0+0} \cos x<\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x}<\lim _{x \rightarrow 0+0} 1
\)
\(\
1<\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x}<1
\)
Согласно теореме о двухсторонних ограничениях (теорема «о двух полицейских») мы заключаем, что
\(\
\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
Вычислим теперь \(\
\lim _{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x}
\) ;
\(\
\lim _{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x}\left[\frac{0}{0}\right]\left\|\quad \begin{array}{c}{x=-t} \\ {t \rightarrow 0+0}\end{array}\right\|=\lim _{t \rightarrow 0+0} \frac{\sin (-t)}{-t}=\lim _{t \rightarrow 0+0} \frac{-\sin t}{-t}=
\)
\(\
=\lim _{t \rightarrow 0+0} \frac{\sin t}{t}\left\|\quad \begin{array}{c}{t=x} \\ {x \rightarrow 0+0}\end{array}\right\|=\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
То есть \(\
\lim _{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
А, таким образом, и \(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
Теорема доказана.
Следствия из первого замечательного предела
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР
Вычислить предел
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}
\)
Вначале выясним тип неопределенности, для этого в выражение, стоящее под знаком предела подставим значение \(\
x=0
\):
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}\left[\frac{0}{\sin 0}=\frac{0}{0}\right]
\)
Таким образом, имеем неопределенность типа \(\
\left[\frac{0}{0}\right]
\) . Перепишем предел следующим образом:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}
\)
Предел частного равен частному пределов, если последние существуют:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} \stackrel{?}{=} \frac{\lim _{x \rightarrow 0} 1}{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}}
\)
Предел константы равен этой константе:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} 1=1
\)
а предел знаменателя есть первый замечательный предел и \(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1
\) . Тогда, окончательно имеем, что
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=\frac{1}{1}=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=1
\)
ПРИМЕР
Вычислить предел
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arcsin x}
\)
Выясним тип неопределенности (если она есть). Для этого вместо x подставляем его предельное значение 0:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arcsin x}\left[\frac{0}{\arcsin 0}=\frac{0}{0}\right]
\)
Итак, имеем неопределенность типа \(\
\left[\frac{0}{0}\right]
\) . Для нахождения предела делаем замену:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arcsin x}\left[\frac{0}{0}\right]\left\|\begin{array}{c}{\arcsin x=y} \\ {x=\sin y} \\ {y \rightarrow 0}\end{array}\right\|=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y}
\)
Получили первый замечательный предел, тогда:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arcsin x}\left[\frac{0}{0}\right]\left\|\quad \begin{array}{c}{\arcsin x=y} \\ {x=\sin y} \\ {y \rightarrow 0}\end{array}\right\|=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y}=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arcsin x}=1
\)