Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная косинуса \(\ x \) равна минус синус \(\ x \).

\(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)

Чтобы запомнить эту формулу, существует мнемоническое правило:

Синий косяк (производная синуса равна косинусу)

Косяк – синий (производная косинуса равна минус синусу)

Примеры решения задач на «косинусоидальном»

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную функции \(\ y(x)=-5 \cos (3 x-7) \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=(-5 \cos (3 x-7))^{\prime} \)

    Вынимаем константу \(\ (-5) \) для знака производной: \(\ y^{\prime}(x)=(-5 \cos (3 x-7))^{\prime}=-5 \cdot(\cos (3 x-7))^{\prime} \)

    Производная косинуса равна минус синус того же аргумента, и поскольку аргумент является более сложным выражением, чем просто \(\ \mathbf{x} \), то мы умножаем все на производную от аргумента. То есть, мы имеем:

    \(\ y^{\prime}(x)=-5 \cdot(\cos (3 x-7))^{\prime}=-5 \cdot(-\sin (3 x-7)) \cdot(3 x-7)^{\prime}=5 \sin (3 x-7) \cdot(3 x-7)^{\prime} \)

    Производная от разности равна разности производных:

    \(\ y^{\prime}(x)=5 \sin (3 x-7) \cdot\left[(3 x)^{\prime}-(7)^{\prime}\right] \)

    С первой производной, согласно правилу дифференцирования, мы помещаем три знака производной, а производная от 7 равна нулю как производная от константы:

    \(\ y^{\prime}(x)=5 \sin (3 x-7) \cdot\left[3 \cdot(x)^{\prime}-0\right]=15 \sin (3 x-7) \cdot(x)^{\prime} \)

    Производная от независимой переменной х равна единице, поэтому, наконец, мы имеем \(\ y^{\prime}(x)=15 \sin (3 x-7) \cdot 1=15 \sin (3 x-7) \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=15 \sin (3 x-7) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти производную функции \(\ y(x)=\ln \cos x \)

  • Решение

    Требуемая производная

    \(\ y^{\prime}(x)=(\ln \cos x)^{\prime} \)

    Производная натурального логарифма равна единице, деленной на сублогарифмическую функцию: \(\ (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} y^{\prime}(x)=(\ln \cos x)^{\prime}=\frac{1}{\cos x} \cdot(\cos x)^{\prime} \).

    Производная косинуса равна минус синус: \(\ y^{\prime}(x)=(\ln \cos x)^{\prime}=\frac{1}{\cos x} \cdot(-\sin x)=-\frac{\sin x}{\cos x} \)

    В соответствии с тригонометрическими формулами отношение синуса к косинусу равно тангенсу: \(\ y^{\prime}(x)=-\operatorname{tg} x \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=-\operatorname{tg} x \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ