Производная логарифма по основанию a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная логарифма базы а равна единице, деленной на суб логарифмическую функцию, умноженную на логарифм естественной базы. \(\ \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \)
Эта формула действительна для любых \(\ x>0 \)
Заметим, что если основание логарифма \(\ a=e \), то мы получаем натуральный логарифм и его производная равна \(\ \left(\log _{e} x\right)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln e}=\frac{1}{x} \)
Примеры решения проблем на тему «Производные логарифма»
ПРИМЕР 1
Найдите производную функции \(\
y(x)=x \log _{3} x
\)
Требуемое производное
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x \log _{3} x\right)^{\prime}
\)
Производные продукты мы находим формулу:
\(\
(u v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime}
\)
Тогда в нашем случае для \(\
u=x, v=\log _{3} x
\) у нас есть:
\(\
y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot \log _{3} x+x \cdot\left(\log _{3} x\right)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной \(\
x
\) равна единице:
\(\
(x)^{\prime}=1
\)
производная от логарифма:
\(\
\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 3}
\)
Итак, у нас есть:
\(\
y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot \log _{3} x+x \cdot\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=1 \cdot \log _{3} x+x \cdot \frac{1}{x \ln 3}=\log _{3} x+\frac{1}{\ln 3}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\log _{3} x+\frac{1}{\ln 3}
\)
ПРИМЕР 2
Найдите производную функции \(\
y(x)=\lg 2 x
\)
Производная этой функции
\(\
y^{\prime}(x)=(\lg 2 x)^{\prime}
\)
Задан десятичный логарифм, то есть его основание \(\
a=10
\) И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет: \(\
y^{\prime}(x)=(\lg 2 x)^{\prime}=\frac{1}{2 x \ln 10} \cdot(2 x)^{\prime}
\)
Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной:
\(\
(2 x)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной x равна единице:
\(\
(2 x)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}=2 \cdot 1=2
\)
Таким образом, мы, наконец, имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 x \ln 10} \cdot(2 x)^{\prime}=\frac{1}{2 x \ln 10} \cdot 2=\frac{1}{x \ln 10}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln 10}
\)
