Производная логарифма по основанию a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная логарифма базы а равна единице, деленной на суб логарифмическую функцию, умноженную на логарифм естественной базы. \(\ \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac

{x \ln a} \)

Эта формула действительна для любых \(\ x>0 \)

Заметим, что если основание логарифма \(\ a=e \), то мы получаем натуральный логарифм и его производная равна \(\ \left(\log _{e} x\right)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\frac

{x \ln e}=\frac {x} \)

Примеры решения проблем на тему «Производные логарифма»

ПРИМЕР 1

Задача

Найдите производную функции \(\ y(x)=x \log _

x \)

Решение

Требуемое производное \(\ y^{\prime}(x)=\left(x \log _

x\right)^{\prime} \)

Производные продукты мы находим формулу: \(\ (u v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime} \)

Тогда в нашем случае для \(\ u=x, v=\log _

x \) у нас есть: \(\ y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot \log _ x+x \cdot\left(\log _ x\right)^{\prime} \)

Производная независимой переменной \(\ x \) равна единице: \(\ (x)^{\prime}=1 \)

производная от логарифма: \(\ \left(\log _

x\right)^{\prime}=\frac {x \ln 3} \)

Итак, у нас есть: \(\ y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot \log _

x+x \cdot\left(\log _ x\right)^{\prime}=1 \cdot \log _ x+x \cdot \frac {x \ln 3}=\log _ x+\frac {\ln 3} \)

Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\log _

x+\frac {\ln 3} \)

ПРИМЕР 2

Задача

Найдите производную функции \(\ y(x)=\lg 2 x \)

Решение в

Производная этой функции \(\ y^{\prime}(x)=(\lg 2 x)^{\prime} \)

Задан десятичный логарифм, то есть его основание \(\ a=10 \) И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет: \(\ y^{\prime}(x)=(\lg 2 x)^{\prime}=\frac

{2 x \ln 10} \cdot(2 x)^{\prime} \)

Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной: \(\ (2 x)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime} \)

Производная независимой переменной x равна единице: \(\ (2 x)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}=2 \cdot 1=2 \)

Таким образом, мы, наконец, имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\frac