Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная натурального логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию. \(\ (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \)

Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию a, с учетом того, что \(\ \mathrm{a}=\mathrm{e} \) и свойств логарифма: \(\ \ln e=1 \)

\(\ (\ln x)^{\prime}=\left(\log _{e} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln e}=\frac{1}{x} \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=\ln \sin x \)

  • Решение

    Искомая производная равна: \(\ y^{\prime}(x)=(\ln \sin x)^{\prime} \)

    Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную: \(\ y^{\prime}(x)=(\ln \sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime} \)

    Производная синуса равна косинусу: \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \)

    Тогда имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{ctg} x \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\operatorname{ctg} x \)

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=\ln ^{2} x \)

  • Решение Искомая производная равна: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\ln ^{2} x\right)^{\prime} \)

    Вначале берем производную как от степенной функции по формуле \(\ \left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{n-1} \)

    Мы домножили на производную основания степени, так как оно есть сложной функцией (отлично от просто \(\ x \)). Тогда для \(\ u=\ln x \) имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\ln ^{2} x\right)^{\prime}=\left((\ln x)^{2}\right)^{\prime}=2(\ln x)^{2-1} \cdot(\ln x)^{\prime}=2 \ln x \cdot \frac{1}{x}=\frac{2 \ln x}{x} \)

    Было учтено, \(\ (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \)

    Ответ\(\ y^{\prime}(x)=\frac{2 \ln x}{x} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ