Производная степенной функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Энергетическая функция силовой функции \(\ \boldsymbol{x}^{n} \) равна мощности мощности \(\ \mathrm{n} \) \(\ \mathbf{x} \) по мощности один раз.
\(\ \left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} \)
Вышеприведенная формула справедлива для любого уровня степени \(\ \mathbf{n} \), будь то положительное целое число \(\ 1,2,3 \dots \) ; отрицательное число \(\ -1,-2,-3 \dots \) или дробное число, например \(\ \frac{1}{2} \), \(\ -\frac{4}{5} \) и т. д.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти производную от функции
\(\
y(x)=x^{6}-\frac{3}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}}-2
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x^{6}-\frac{3}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}}-2\right)^{\prime}
\)
Получение суммы или разностной функции равно сумме или разности их производных, т. e.
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x^{6}\right)^{\prime}-\left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}+\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}-(2)^{\prime}
\)
Выводим производную \(\
\boldsymbol{x}^{6}
\) как производную от степенной функции: \(\
\left(x^{6}\right)^{\prime}=6 \cdot x^{6-1}=6 x^{5}
\)
Чтобы найти производную одночлена \(\
a^{\frac{3}{x^{2}}}
\), сначала выберем константу для знака производной:
\(\
\left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}
\)
Затем фракция \(\
\frac{1}{x^{2}}
\) представляется как степень с отрицательным индексом по свойству \(\
\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}
\) :
\(\
\left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(x^{-2}\right)^{\prime}
\)
Затем мы найдем производную от степенной функции:
\(\
\left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(x^{-2}\right)^{\prime}=3 \cdot(-2) \cdot x^{-2-1}=-6 x^{-3}=-6 \cdot \frac{1}{x^{3}}=-\frac{6}{x^{3}}
\)
Для получения производной \(\
\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}
\) запишем корень в виде степени с дробным показателем:
\(\
\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\prime}
\)
Затем мы найдем производную от степенной функции:
\(\
\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\prime}=\frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3}-1}=\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}
\)
Напишите дробную степень в виде корня:
\(\
\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\frac{4}{3} \sqrt[3]{x}
\)
Производство от двух, как от постоянного, номинального: \(\
(2)^{\prime}=0
\)
Итак, наконец, мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=6 x^{5}-\left(-\frac{6}{x^{3}}\right)+\frac{4}{3} \sqrt[3]{x}-0=6 x^{5}+\frac{6}{x^{3}}+\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=6 x^{5}+\frac{6}{x^{3}}+\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}
\)
ПРИМЕР 2
Чтобы найти производную функции \(\
y(x)=(2 x+7)^{3}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left((2 x+7)^{3}\right)^{\prime}
\)
Мы найдем эту производную как производную от степенной функции, но поскольку базис степени \(\
2 x+7
\) является комплексной функцией (она отличается от просто х), мы должны также умножить ее на производную от основания: \(\
y^{\prime}(x)=\left((2 x+7)^{3}\right)^{\prime}=3 \cdot(2 x+7)^{3-1} \cdot(2 x+7)^{\prime}=3 \cdot(2 x+7)^{2} \cdot(2 x+7)^{\prime}
\)
Мы находим оставшуюся производную отдельно. Производственная сумма суммы суммы производных: \(\
(2 x+7)^{\prime}=(2 x)^{\prime}+(7)^{\prime}
\)
Начиная с первого срока решения в соответствии с контрактом и производственного от второго, начиная с постоянной, \(\
(2 x+7)^{\prime}=(2 x)^{\prime}+(7)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}+0=2 \cdot(x)^{\prime}
\)
Производство от значения \(\
\mathbf{x}
\) до единицы:
\(\
(2 x+7)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}=2 \cdot 1=2
\)
Таким образом, производная данной функции \(\
y^{\prime}(x)=3(2 x+7)^{2} \cdot(2 x+7)^{\prime}=3(2 x+7)^{2} \cdot 2=6(2 x+7)^{2}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=6(2 x+7)^{2}
\)