Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная степенной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Энергетическая функция силовой функции \(\ \boldsymbol{x}^{n} \) равна мощности мощности \(\ \mathrm{n} \) \(\ \mathbf{x} \) по мощности один раз.

\(\ \left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} \)

Вышеприведенная формула справедлива для любого уровня степени \(\ \mathbf{n} \), будь то положительное целое число \(\ 1,2,3 \dots \) ; отрицательное число \(\ -1,-2,-3 \dots \) или дробное число, например \(\ \frac{1}{2} \), \(\ -\frac{4}{5} \) и т. д.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную от функции \(\ y(x)=x^{6}-\frac{3}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}}-2 \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=\left(x^{6}-\frac{3}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}}-2\right)^{\prime} \)

    Получение суммы или разностной функции равно сумме или разности их производных, т. e. \(\ y^{\prime}(x)=\left(x^{6}\right)^{\prime}-\left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}+\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}-(2)^{\prime} \)

    Выводим производную \(\ \boldsymbol{x}^{6} \) как производную от степенной функции: \(\ \left(x^{6}\right)^{\prime}=6 \cdot x^{6-1}=6 x^{5} \)

    Чтобы найти производную одночлена \(\ a^{\frac{3}{x^{2}}} \), сначала выберем константу для знака производной: \(\ \left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime} \)

    Затем фракция \(\ \frac{1}{x^{2}} \) представляется как степень с отрицательным индексом по свойству \(\ \frac{1}{x^{n}}=x^{-n} \) : \(\ \left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(x^{-2}\right)^{\prime} \)

    Затем мы найдем производную от степенной функции:

    \(\ \left(\frac{3}{x^{2}}\right)^{\prime}=3 \cdot\left(x^{-2}\right)^{\prime}=3 \cdot(-2) \cdot x^{-2-1}=-6 x^{-3}=-6 \cdot \frac{1}{x^{3}}=-\frac{6}{x^{3}} \)

    Для получения производной \(\ \left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime} \) запишем корень в виде степени с дробным показателем:

    \(\ \left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\prime} \)

    Затем мы найдем производную от степенной функции: \(\ \left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\prime}=\frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3}-1}=\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} \)

    Напишите дробную степень в виде корня: \(\ \left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}=\frac{4}{3} \sqrt[3]{x} \)

    Производство от двух, как от постоянного, номинального: \(\ (2)^{\prime}=0 \)

    Итак, наконец, мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=6 x^{5}-\left(-\frac{6}{x^{3}}\right)+\frac{4}{3} \sqrt[3]{x}-0=6 x^{5}+\frac{6}{x^{3}}+\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=6 x^{5}+\frac{6}{x^{3}}+\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Чтобы найти производную функции \(\ y(x)=(2 x+7)^{3} \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=\left((2 x+7)^{3}\right)^{\prime} \)

    Мы найдем эту производную как производную от степенной функции, но поскольку базис степени \(\ 2 x+7 \) является комплексной функцией (она отличается от просто х), мы должны также умножить ее на производную от основания: \(\ y^{\prime}(x)=\left((2 x+7)^{3}\right)^{\prime}=3 \cdot(2 x+7)^{3-1} \cdot(2 x+7)^{\prime}=3 \cdot(2 x+7)^{2} \cdot(2 x+7)^{\prime} \)

    Мы находим оставшуюся производную отдельно. Производственная сумма суммы суммы производных: \(\ (2 x+7)^{\prime}=(2 x)^{\prime}+(7)^{\prime} \)

    Начиная с первого срока решения в соответствии с контрактом и производственного от второго, начиная с постоянной, \(\ (2 x+7)^{\prime}=(2 x)^{\prime}+(7)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}+0=2 \cdot(x)^{\prime} \)

    Производство от значения \(\ \mathbf{x} \) до единицы: \(\ (2 x+7)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}=2 \cdot 1=2 \)

    Таким образом, производная данной функции \(\ y^{\prime}(x)=3(2 x+7)^{2} \cdot(2 x+7)^{\prime}=3(2 x+7)^{2} \cdot 2=6(2 x+7)^{2} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=6(2 x+7)^{2} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ