Производная суммы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная суммы равна сумме производных от каждого слагаемого. \(\ (u+v)^{\prime}=(u)^{\prime}+(v)^{\prime} \)
Эта формула также применима к большему количеству терминов. Например, для трех членов он принимает вид: \(\ (u+v+w)^{\prime}=(u)^{\prime}+(v)^{\prime}+(w)^{\prime} \)
Примеры решения проблем по теме «Производная сумма»
ПРИМЕР 1
Найдите производную функции \(\
y(x)=x^{2}+3 x+1
\)
Мы разделим эту функцию:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{\prime}
\)
Производная суммы равна сумме производных от каждого из слагаемых, то есть. Мы получаем:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}+(3 x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\)
Производная от первого члена будет найдена как производная от степенной функции по формуле \(\
\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}
\)
Тогда мы имеем: \(\
\left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x^{2-1}=2 x
\)
Найдите производную от второго члена \(\
(3 x)^{\prime}
\)
Во-первых, по свойствам производной положим константу 3 на знак производной:
\(\
(3 x)^{\prime}=3 \cdot(x)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной x равна единице: \(\
(3 x)^{\prime}=3 \cdot(x)^{\prime}=3 \cdot 1=3
\)
Производная от третьего члена как константа равна нулю: \(\
(1)^{\prime}=0
\)
Итак, наконец, мы имеем, что производная этой функции равна: \(\
y^{\prime}(x)=\left(x^{2}\right)^{\prime}+(3 x)^{\prime}+(1)^{\prime}=2 x+3+0=2 x+3
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=2 x+3
\)
ПРИМЕР 2
Найдите производную функции \(\
y(x)=x+\cos x
\)
Требуемая производная:
\(\
y^{\prime}(x)=(x+\cos x)^{\prime}
\) Производная суммы равна сумме производных, то есть получаем:
\(\
y^{\prime}(x)=(x+\cos x)^{\prime}=(x)^{\prime}+(\cos x)^{\prime}
\)
Производной от первого члена как производной от независимой переменной является:
\(\
(x)^{\prime}=1
\)
Производная косинуса равна минусу синуса, то есть:
\(\
(\cos x)^{\prime}=-\sin x
\)
тогда \(\
y^{\prime}(x)=(x)^{\prime}+(\cos x)^{\prime}=1+(-\sin x)=1-\sin x
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=1-\sin x
\)