Равносторонний (правильный) треугольник
Определение и формулы равностороннего треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Для равносторонних треугольников справедливы следующие утверждения:
В правом треугольнике все углы равны друг другу и равны \(\
60^{\circ}
\):
\(\
\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
\)
В регулярном треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и медианные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника.
Центр равностороннего треугольника является центром вписанных и описанных кругов.
В равностороннем треугольнике радиус окружности удваивает радиус вписанной окружности.
В регулярном треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен\(\
R=\frac{a \sqrt{3}}{3}
\) ,а радиус вписанной окружности равен \(\
r=\frac{a \sqrt{3}}{6}
\)
В регулярном треугольнике со стороной a высоты совпадают со средами и биссектрисами и равны
\(\
h=\frac{a \sqrt{3}}{2}
\)
Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна
\(\
S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В правом треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) мы провели медианную \(\
\mathrm{БК = 3 см}
\) (рис.1). Найдите сторону треугольника.
Поскольку треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\) является равносторонним, его медиана
\(\
B K=\frac{A C \sqrt{3}}{2}=3
\)
Из последнего равенства получаем, что
\(\
A C=\frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3} \mathrm{см.}
\)
\(\
A C=2 \sqrt{3} \mathrm{см.}
\)
ПРИМЕР 2
В регулярном треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) радиус описанной окружности равен 6 см. Найдите высоту треугольника.
Зная радиус \(\
\mathrm{AO = 6 см.}
\) описанной окружности в равносторонний треугольник, можно найти сторону этого треугольника: \(\
A C=A O \sqrt{3}=6 \sqrt{3} \mathrm{см.}
\)
А сторона треугольника связана с высотой следующим соотношением:
\(\
A M=\frac{A C \sqrt{3}}{2}=\frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}=9 \mathrm{см.}
\)
\(\
\mathrm{AM}=9 \mathrm{см.}
\)