Решение
Выразим из второго уравнения системы функцию \(\
x(t)
\) и ее производную:
\(\
x=y^{\prime}-2 y+3
\)
дифференцируем:
\(\
x^{\prime}=\left(y^{\prime}-2 y+3\right)^{\prime}=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}
\)
Подставляем полученные выражения в первое уравнение исходной системы:
\(\
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=y^{\prime}-2 y+3-1 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2
\)
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем его решение.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
\(\
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0
\)
Его характеристическое
\(\
k^
-3 k+2=0
\)
корни которого
\(\
k^
-3 k+2=0
\)
Поскольку корни различны и действительны, то решение однородного уравнения
\(\
y_{o d n}(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot t}+C_
e^{k_
\cdot t}=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{1 \cdot t}=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}
\)
Частное решение неоднородного решения будем искать по виду правой части:
\(\
y_{\text { chastn }}(t)=A
\)
Тогда
\(\
(A)^{\prime \prime}-3 \cdot(A)^{\prime}+2 \cdot A=2 \Rightarrow 2 A=2 \Rightarrow A=1 \Rightarrow y_{c h a s t n}(t)=1
\)
Таким образом,
\(\
y(t)=y_{\text {odn}}(t)+y_{\text {chastn}}(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}+1
\)
Вторую неизвестную функцию \(\
x(t)
\) найдем из соотношения \(\
x=y^{\prime}-2 y+3
\):
\(\
x(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}+1\right)^{\prime}-2 \cdot\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}+1\right)+3= x(t)=2 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}-2 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}-2 C_
e^{t}-2+3=-C_
e^{t}+1=1-C_
e^{t}
\)
Итак,
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=1-C_
e^{t}} \\ {y(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}+1}\end{array}\right.
\)
Ответ\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=1-C_
e^{t}} \\ {y(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{2 t}+C_
e^{t}+1}\end{array}\right.
\)
Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера
Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным (1) -
\(\
\left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
x(t)+b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y(t)} \\ {\frac{d y}{d t}=a_
x(t)+b_
y(t)}\end{array}\right.
\)
можно также решать с помощью метода Эйлера.
Решение системы будем искать в виде:
\(\
x(t)=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda t}
\), \(\
y(t)=k_
e^{\lambda t}
\)
Здесь \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\),\(\
k_{2,}
\),\(\
\lambda
\) – некоторые константы. Для определения \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
k_
\) подставляем эти решения в систему (1):
\(\
\left\{\begin{array}{l}{k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\lambda e^{\lambda t}=a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda t}+b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
k_
e^{\lambda t}} \\ {k_
\lambda e^{\lambda t}=a_
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda t}+b_
k_
e^{\lambda t}}\end{array}\right.
\)
После упрощения и сокращения на \(\
e^{\lambda t}>0
\) будем иметь: (2) -
\(\
\left\{\begin{array}{l}{\left(a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\lambda\right) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
k_
=0} \\ {a_
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\left(b_
-\lambda\right) k_
=0}\end{array}\right.
\)
Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель (3) -
\(\
\Delta=\left|\begin{array}{cc}{a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\lambda} & {b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {a_
} & {b_
-\lambda}\end{array}\right|=\left(a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\lambda\right)\left(b_
-\lambda\right)-a_
b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
равен нулю: (4) - \(\
\left(a_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\lambda\right)\left(b_
-\lambda\right)-a_
b_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=0
\)
Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.
Возможны следующие случаи.
1. Корни \(\
\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\
\lambda_
\) характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо \(\
\lambda
\) число \(\
\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и тем самым получить решение этой системы \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
k_
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) . Аналогичные действия выполняются и для второго значения \(\
\lambda_
\) (в результате получаем соответственно \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
\) и \(\
k_
^
\)
В результате получаем два частных решения:
\(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}
\), \(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=k_
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}
\)
и \(\
x_
(t)=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
e^{\lambda_
t}
\), \(\
y_
(t)=k_
^
e^{\lambda_
t}
\)
А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)+C_
x_
(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}+C_
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
e^{\lambda_
t}} \\ {y(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)+C_
y_
(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
k_
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}+C_
k_
^
e^{\lambda_
t}}\end{array}\right.
\)
2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.
Примеры решения задач
ПРИМЕР
Задание
Решить систему дифференциальных уравнений
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-5 y} \\ {y^{\prime}=2 x-y}\end{array}\right.
\)
Решение
Выпишем систему (2) для определения \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
k_
\):
\(\
\left\{\begin{array}{l}{(1-\lambda) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-5 k_
=0} \\ {2 k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-(1+\lambda) k_
=0}\end{array}\right.
\)
Характеристическое уравнение
\(\
\left|\begin{array}{cc}{1-\lambda} & {-5} \\
& {-(1+\lambda)}\end{array}\right|=0 \Rightarrow-(1-\lambda)(1+\lambda)+10=0 \Rightarrow -1+\lambda^
+10=0 \Rightarrow \lambda^
+9=0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm 3 i
\)
Подставляем первое полученное значение \(\
\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=3 i
\) в систему для определения неизвестных \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\
k_
\), \(\
\left\{\begin{array}{l}{(1-3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-5 k_
=0} \\ {2 k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-(1+3 i) k_
=0}\end{array}\right.
\)
Первое уравнение системы умножим на 2, а второе – на \(\
(1-3 i)
\) .В результате будем иметь:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{2(1-3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
=0} \\ {2(1-3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
=0}\end{array} \Rightarrow 2(1-3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
=0 \Rightarrow\right. 5 k_
=(1-3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\Rightarrow k_
=\frac{(1-3 i)}{5} k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
То есть искомое решение
\(\
\left\{\begin{array}{l}{k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {k_
=\frac{(1-3 i)}{5} k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array}\right.
\)
Тогда, взяв, к примеру, \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=5
\) получим, что \(\
k_
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=1-3 i
\) ,и тогда первое частное решение принимает вид:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}=5 e^{3 i t}} \\ {y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=k_
^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
e^{\lambda_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
t}=(1-3 i) e^{3 i t}}\end{array}\right.
\)
Аналогично поступаем со вторым корнем \(\
\lambda_
=-3 i
\) :
\(\
\left\{\begin{array}{l}{(1+3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-5 k_
=0} \\ {2 k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-(1-3 i) k_
=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{2(1+3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
=0} \\ {2(1+3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
=0}\end{array} \Rightarrow\right.\right. 2(1+3 i) k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-10 k_
\Rightarrow k_
=\frac{(1+3 i)}{5} k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {k_
=\frac{(1+3 i)}{5} k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array}\right.
\)
Для \(\
k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
=5
\) получаем, что \(\
k_
^
=1+3 i
\) и тогда второе фундаментальное решение
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x_
(t)=k_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
e^{\lambda_
t}=5 e^{-3 i t}} \\ {y_
(t)=k_
^
e^{\lambda_
t}=(1+3 i) e^{-3 i t}}\end{array}\right.
\)
Перейдем к новой фундаментальной системе решений:
\(\
\overline{x}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+x_
}
=\frac{5 e^{3 i t}+5 e^{-3 i t}}
=\frac{5\left(e^{3 i t}+e^{-3 i t}\right)}
\), \(\
\overline{x}_
=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
}{2 i}=\frac{5 e^{33 i t}-5 e^{-3 i t}}{2 i}=\frac{5\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}{2 i}
\), \(\
\overline{y}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\frac{y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+y_
}
=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}+(1+3 i) e^{-3 i t}}
\), \(\
\overline{y}_
=\frac{y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-y_
}{2 i}=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}-(1+3 i) e^{-3 i t}}{2 i}
\)
Применим формулу Эйлера
\(\
e^{a i t}=\cos a t+i \sin a t
\)
откуда
\(\
e^{-a i t}=\cos a t-i \sin a t
\)
Сложением и вычитанием этих формул очень легко получить, что
\(\
\cos a t=\frac{e^{a i t}+e^{-a i t}}
\), \(\
\sin a t=\frac{e^{a i t}-e^{-a i t}}{2 i}
\)
Тогда фундаментальные системы решений перепишутся в виде:
\(\
\overline{x}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=\frac{5\left(e^{3 i t}+e^{-3 i t}\right)}
=5 \cos 3 t
\),
\(\
\overline{x}_
(t)=\frac{5\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}{2 i}=5 \sin 3 t
\),
\(\
\overline{y}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}+(1+3 i) e^{-3 i t}}
=\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}-3 i\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}
=\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
-3 i \cdot \frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}
=\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
+3 \cdot \frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}{2 i}=\cos 3 t+3 \sin 3 t
\), \(\
\overline{y}_
(t)=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}-(1+3 i) e^{-3 i t}}{2 i}=\frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}-3 i\left(e^{3 j t}+e^{-3 i t}\right)}{2 i}=\frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}{2 i}-3 i \cdot \frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}{2 i}=\sin 3 t-3 \cdot \frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
=\sin 3 t-3 \cos 3 t
\)
Тогда общее решение заданной системы
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\overline{x}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)+C_
\overline{x}_
(t)=5 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cos 3 t+5 C_
\sin 3 t} \\ {y(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\overline{y}_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)+C_
\overline{y}_
(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(\cos 3 t+3 \sin 3 t)+C_
(\sin 3 t-3 \cos 3 t)}\end{array}\right.
\)
или
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cos 3 t+5 C_
\sin 3 t} \\ {y(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-3 C_
\right) \cos t+\left(3 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
\right) \sin 3 t}\end{array}\right.
\)
Замечание. Получив первое частное решение \(\
\left\{\begin{array}{l}{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=5 e^{3 i t}} \\ {y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)=(1-3 i) e^{3 i t}}\end{array}\right.
\) ,можно было бы сразу записать общее решение исходной системы, пользуясь формулами
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot \operatorname{Re}\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)\right)+C_
\cdot \operatorname{Im}\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)\right)} \\ {y(t)=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot \operatorname{Re}\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)\right)+C_
\cdot \operatorname{Im}\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
(t)\right)}\end{array}\right.
\)
Где \(\
\operatorname{Re}(z)
\), \(\
\operatorname{Im}(z)
\) – действительная и мнимая части комплексного числа z соответственно.
Ответ \(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cos 3 t+5 C_
\sin 3 t} \\ {y(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-3 C_
\right) \cos t+\left(3 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
\right) \sin 3 t}\end{array}\right.
\)
3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.
ПРИМЕР
Задание
Найти решение однородной системы дифференциальных уравнений
\(\
\left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=2 x+y} \\ {\frac{d y}{d t}=4 y-x}\end{array}\right.
\)
Решение
Составляем характеристическое уравнение заданной системы:
\(\
\left|\begin{array}{cc}{2-\lambda} &
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\ {-1} & {4-\lambda}\end{array}\right|=0 \Rightarrow(2-\lambda)(4-\lambda)+1=0 \Rightarrow 8-6 \lambda+\lambda^
+1=0 \Rightarrow\lambda^
-6 \lambda+9=0 \Rightarrow(\lambda-3)^
=0
\)
Таким образом, получаем, что корнями характеристического уравнения есть
\(\
\lambda_{1,2}=3
\)
Тогда решение следует искать в виде
(5) - \(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_{4} t\right) e^{3 t}}\end{array}\right.
\)
Подставляем записанное решение в первое уравнение исходной системы:
\(\
\left(\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}\right)^{\prime}=2 \cdot\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}+\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_{4} t\right) e^{3 t}
\)
\(\
C_
e^{3 t}+3\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}=2 \cdot\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}+\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_{4} t\right) e^{3 t} | : e^{3 t}>0 C_
+3 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+3 C_
t=2 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+2 C_
t+C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_{4} t
\)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим следующую систему:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{3 C_
=2 C_
+C_{4},} \\ {C_
+3 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=2 C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{C_
=C_{4},} \\ {C_
=-C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{C_{4}=C_
} \\ {C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
}\end{array}\right.\right.\right.
\)
Выразили коэффициенты функции-решения \(\
y(t)
\) через коэффициенты функции \(\
x(t)
\)
Итак, искомое общее решение рассматриваемой системы:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
+C_
t\right) e^{3 t}}\end{array}\right.
\)
Замечание. Решение (5) можно было подставить во второе уравнение системы и получить аналогичное решение.
Ответ\(\
\left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+C_
+C_
t\right) e^{3 t}}\end{array}\right.
\)