Решение систем дифференциальных уравнений

Найдите решение системы дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-1} \\ {y^{\prime}=x+2 y-3}\end{array}\right. \)

Выразим из второго уравнения системы функцию \(\ x(t) \) и ее производную: \(\ x=y^{\prime}-2 y+3 \)

дифференцируем: \(\ x^{\prime}=\left(y^{\prime}-2 y+3\right)^{\prime}=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime} \)

Подставляем полученные выражения в первое уравнение исходной системы: \(\ y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=y^{\prime}-2 y+3-1 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем его решение.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение \(\ y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0 \)

Его характеристическое \(\ k^

корни которого \(\ k^

Поскольку корни различны и действительны, то решение однородного уравнения \(\ y_{o d n}(t)=C_

Частное решение неоднородного решения будем искать по виду правой части: \(\ y_{\text { chastn }}(t)=A \)

Тогда \(\ (A)^{\prime \prime}-3 \cdot(A)^{\prime}+2 \cdot A=2 \Rightarrow 2 A=2 \Rightarrow A=1 \Rightarrow y_{c h a s t n}(t)=1 \)

Таким образом, \(\ y(t)=y_{\text {odn}}(t)+y_{\text {chastn}}(t)=C_

Вторую неизвестную функцию \(\ x(t) \) найдем из соотношения \(\ x=y^{\prime}-2 y+3 \): \(\ x(t)=\left(C_

Итак, \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=1-C_

Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера

Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным (1) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a_

можно также решать с помощью метода Эйлера.

Решение системы будем искать в виде: \(\ x(t)=k_

Здесь \(\ k_

После упрощения и сокращения на \(\ e^{\lambda t}>0 \) будем иметь: (2) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{\left(a_

Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель (3) - \(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}{a_

равен нулю: (4) - \(\ \left(a_

Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.

Возможны следующие случаи.

1. Корни \(\ \lambda_

В результате получаем два частных решения: \(\ x_

и \(\ x_

А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_

2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Решить систему дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-5 y} \\ {y^{\prime}=2 x-y}\end{array}\right. \)

Выпишем систему (2) для определения \(\ k_

Характеристическое уравнение \(\ \left|\begin{array}{cc}{1-\lambda} & {-5} \\

Подставляем первое полученное значение \(\ \lambda_

Первое уравнение системы умножим на 2, а второе – на \(\ (1-3 i) \) .В результате будем иметь: \(\ \left\{\begin{array}{l}{2(1-3 i) k_

То есть искомое решение \(\ \left\{\begin{array}{l}{k_

Тогда, взяв, к примеру, \(\ k_

Аналогично поступаем со вторым корнем \(\ \lambda_

Для \(\ k_

Перейдем к новой фундаментальной системе решений: \(\ \overline{x}_

Применим формулу Эйлера \(\ e^{a i t}=\cos a t+i \sin a t \)

откуда \(\ e^{-a i t}=\cos a t-i \sin a t \)

Сложением и вычитанием этих формул очень легко получить, что \(\ \cos a t=\frac{e^{a i t}+e^{-a i t}}

Тогда фундаментальные системы решений перепишутся в виде: \(\ \overline{x}_

Тогда общее решение заданной системы \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_

или \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_

Замечание. Получив первое частное решение \(\ \left\{\begin{array}{l}{x_

Где \(\ \operatorname{Re}(z) \), \(\ \operatorname{Im}(z) \) – действительная и мнимая части комплексного числа z соответственно.

3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.

ПРИМЕР

Найти решение однородной системы дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=2 x+y} \\ {\frac{d y}{d t}=4 y-x}\end{array}\right. \)

Составляем характеристическое уравнение заданной системы: \(\ \left|\begin{array}{cc}{2-\lambda} &

Таким образом, получаем, что корнями характеристического уравнения есть \(\ \lambda_{1,2}=3 \)

Тогда решение следует искать в виде (5) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_

Подставляем записанное решение в первое уравнение исходной системы: \(\ \left(\left(C_

\(\ C_

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим следующую систему: \(\ \left\{\begin{array}{l}{3 C_

Выразили коэффициенты функции-решения \(\ y(t) \) через коэффициенты функции \(\ x(t) \)

Итак, искомое общее решение рассматриваемой системы: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_

Замечание. Решение (5) можно было подставить во второе уравнение системы и получить аналогичное решение.