Узнать цену работы
Статьи по теме

Решение систем дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим простейшую систему дифференциальных уравнений вида \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
x(t)+b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y(t)+c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {\frac{d y}{d t}=a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
x(t)+b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y(t)+c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}\end{array}\right. \)

Здесь коэффициенты \(\ a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\ a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\),\(\ b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\),\(\ b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\),\(\ c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\ c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\) – некоторые действительные числа.

Если коэффициенты \(\ c_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\ c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\) равны нулю, то система называется однородной.

ЗАМЕЧАНИЕ

Производные \(\ \frac{d x}{d t} \) , \(\ \frac{d y}{d t} \) еще обозначаются как \(\ x^{\prime}(t) \) и \(\ y^{\prime}(t) \) или \(\ \dot{x}(t) \) и \(\ \dot{y}(t) \) соответственно.

Решение систем дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решением этой системы дифференциальных уравнений называется пара \(\ x(t) \) и \(\ y(t) \) ,которые обращают оба уравнения системы в тождества.

Из второго уравнения выразим неизвестную функцию \(\ x(t) \) : \(\ x(t)=\frac{y^{\prime}(t)-b_

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y(t)-c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \)

Тогда отсюда \(\ x^{\prime}(t)=\frac{y^{\prime \prime}(t)-b_

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y^{\prime}(t)}{a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \)

Подставляем полученные выражения в первое уравнение системы, тем самым исключив функцию \(\ x(t) \) : \(\ \frac{y^{\prime \prime}(t)-b_

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y^{\prime}(t)}{a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}=a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot \frac{y^{\prime}(t)-b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y(t)-c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}+b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y(t)+c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) \(\ y^{\prime \prime}(t)-b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y^{\prime}(t)=a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y^{\prime}(t)-a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
y(t)-a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
y(t)+a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) \(\ y^{\prime \prime}(t)-\left(a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) y^{\prime}(t)+\left(a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
-a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) y(t)=-a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)

В результате пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя его решение – функцию \(\ y(t) \) – легко находим и вторую неизвестную функцию \(\ x(t) \)

ПРИМЕР

  • Задание

    Найдите решение системы дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-1} \\ {y^{\prime}=x+2 y-3}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Выразим из второго уравнения системы функцию \(\ x(t) \) и ее производную: \(\ x=y^{\prime}-2 y+3 \)

    дифференцируем: \(\ x^{\prime}=\left(y^{\prime}-2 y+3\right)^{\prime}=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime} \)

    Подставляем полученные выражения в первое уравнение исходной системы: \(\ y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=y^{\prime}-2 y+3-1 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \)

    Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем его решение.

    Рассмотрим соответствующее однородное уравнение \(\ y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0 \)

    Его характеристическое \(\ k^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 k+2=0 \)

    корни которого \(\ k^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 k+2=0 \)

    Поскольку корни различны и действительны, то решение однородного уравнения \(\ y_{o d n}(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot t}=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{1 \cdot t}=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t} \)

    Частное решение неоднородного решения будем искать по виду правой части: \(\ y_{\text { chastn }}(t)=A \)

    Тогда \(\ (A)^{\prime \prime}-3 \cdot(A)^{\prime}+2 \cdot A=2 \Rightarrow 2 A=2 \Rightarrow A=1 \Rightarrow y_{c h a s t n}(t)=1 \)

    Таким образом, \(\ y(t)=y_{\text {odn}}(t)+y_{\text {chastn}}(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1 \)

    Вторую неизвестную функцию \(\ x(t) \) найдем из соотношения \(\ x=y^{\prime}-2 y+3 \): \(\ x(t)=\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1\right)^{\prime}-2 \cdot\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1\right)+3= x(t)=2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}-2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}-2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}-2+3=-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1=1-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t} \)

    Итак, \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=1-C_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}} \\ {y(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1}\end{array}\right. \)

  • Ответ\(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=1-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}} \\ {y(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{2 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{t}+1}\end{array}\right. \)

    Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера

    Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным (1) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x(t)+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y(t)} \\ {\frac{d y}{d t}=a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x(t)+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y(t)}\end{array}\right. \)

    можно также решать с помощью метода Эйлера.

    Решение системы будем искать в виде: \(\ x(t)=k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda t} \), \(\ y(t)=k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda t} \)

    Здесь \(\ k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \),\(\ k_{2,} \),\(\ \lambda \) – некоторые константы. Для определения \(\ k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) и \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) подставляем эти решения в систему (1): \(\ \left\{\begin{array}{l}{k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \lambda e^{\lambda t}=a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda t}+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda t}} \\ {k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \lambda e^{\lambda t}=a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda t}+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda t}}\end{array}\right. \)

    После упрощения и сокращения на \(\ e^{\lambda t}>0 \) будем иметь: (2) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{\left(a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\lambda\right) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\left(b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\lambda\right) k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array}\right. \)

    Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель (3) - \(\ \Delta=\left|\begin{array}{cc}{a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\lambda} & {b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \\ {a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } & {b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\lambda}\end{array}\right|=\left(a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\lambda\right)\left(b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\lambda\right)-a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    равен нулю: (4) - \(\ \left(a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\lambda\right)\left(b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\lambda\right)-a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =0 \)

    Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.

    Возможны следующие случаи.

    1. Корни \(\ \lambda_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ \lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо \(\ \lambda \) число \(\ \lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) и тем самым получить решение этой системы \(\ k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) и \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) . Аналогичные действия выполняются и для второго значения \(\ \lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) (в результате получаем соответственно \(\ k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) и \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    В результате получаем два частных решения: \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t} \), \(\ y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t} \)

    и \(\ x_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t} \), \(\ y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t} \)

    А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t}} \\ {y(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t}}\end{array}\right. \)

    2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР

  • Задание

    Решить систему дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-5 y} \\ {y^{\prime}=2 x-y}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Выпишем систему (2) для определения \(\ k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) и \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \): \(\ \left\{\begin{array}{l}{(1-\lambda) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {2 k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -(1+\lambda) k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array}\right. \)

    Характеристическое уравнение \(\ \left|\begin{array}{cc}{1-\lambda} & {-5} \\

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    & {-(1+\lambda)}\end{array}\right|=0 \Rightarrow-(1-\lambda)(1+\lambda)+10=0 \Rightarrow -1+\lambda^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +10=0 \Rightarrow \lambda^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +9=0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm 3 i \)

    Подставляем первое полученное значение \(\ \lambda_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =3 i \) в систему для определения неизвестных \(\ k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ \left\{\begin{array}{l}{(1-3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {2 k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -(1+3 i) k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array}\right. \)

    Первое уравнение системы умножим на 2, а второе – на \(\ (1-3 i) \) .В результате будем иметь: \(\ \left\{\begin{array}{l}{2(1-3 i) k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {2(1-3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array} \Rightarrow 2(1-3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \Rightarrow\right. 5 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =(1-3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \Rightarrow k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{(1-3 i)}{5} k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    То есть искомое решение \(\ \left\{\begin{array}{l}{k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \\ {k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{(1-3 i)}{5} k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\end{array}\right. \)

    Тогда, взяв, к примеру, \(\ k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =5 \) получим, что \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =1-3 i \) ,и тогда первое частное решение принимает вид: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t}=5 e^{3 i t}} \\ {y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t}=(1-3 i) e^{3 i t}}\end{array}\right. \)

    Аналогично поступаем со вторым корнем \(\ \lambda_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-3 i \) : \(\ \left\{\begin{array}{l}{(1+3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {2 k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -(1-3 i) k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{2(1+3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {2(1+3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array} \Rightarrow\right.\right. 2(1+3 i) k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -10 k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \Rightarrow k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{(1+3 i)}{5} k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \\ {k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{(1+3 i)}{5} k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\end{array}\right. \)

    Для \(\ k_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =5 \) получаем, что \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1+3 i \) и тогда второе фундаментальное решение \(\ \left\{\begin{array}{l}{x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t}=5 e^{-3 i t}} \\ {y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t}=(1+3 i) e^{-3 i t}}\end{array}\right. \)

    Перейдем к новой фундаментальной системе решений: \(\ \overline{x}_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{5 e^{3 i t}+5 e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{5\left(e^{3 i t}+e^{-3 i t}\right)}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{2 i}=\frac{5 e^{33 i t}-5 e^{-3 i t}}{2 i}=\frac{5\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}{2 i} \), \(\ \overline{y}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac{y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{(1-3 i) e^{3 i t}+(1+3 i) e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ \overline{y}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{2 i}=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}-(1+3 i) e^{-3 i t}}{2 i} \)

    Применим формулу Эйлера \(\ e^{a i t}=\cos a t+i \sin a t \)

    откуда \(\ e^{-a i t}=\cos a t-i \sin a t \)

    Сложением и вычитанием этих формул очень легко получить, что \(\ \cos a t=\frac{e^{a i t}+e^{-a i t}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ \sin a t=\frac{e^{a i t}-e^{-a i t}}{2 i} \)

    Тогда фундаментальные системы решений перепишутся в виде: \(\ \overline{x}_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=\frac{5\left(e^{3 i t}+e^{-3 i t}\right)}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =5 \cos 3 t \), \(\ \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=\frac{5\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}{2 i}=5 \sin 3 t \), \(\ \overline{y}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}+(1+3 i) e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}-3 i\left(e^{3 i t}-e^{-3 i t}\right)}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 i \cdot \frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +3 \cdot \frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}{2 i}=\cos 3 t+3 \sin 3 t \), \(\ \overline{y}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=\frac{(1-3 i) e^{3 i t}-(1+3 i) e^{-3 i t}}{2 i}=\frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}-3 i\left(e^{3 j t}+e^{-3 i t}\right)}{2 i}=\frac{e^{3 i t}-e^{-3 i t}}{2 i}-3 i \cdot \frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}{2 i}=\sin 3 t-3 \cdot \frac{e^{3 i t}+e^{-3 i t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sin 3 t-3 \cos 3 t \)

    Тогда общее решение заданной системы \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \overline{x}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+5 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t} \\ {y(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \overline{y}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \overline{y}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (\cos 3 t+3 \sin 3 t)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (\sin 3 t-3 \cos 3 t)}\end{array}\right. \)

    или \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+5 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t} \\ {y(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \cos t+\left(3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \sin 3 t}\end{array}\right. \)

    Замечание. Получив первое частное решение \(\ \left\{\begin{array}{l}{x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=5 e^{3 i t}} \\ {y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)=(1-3 i) e^{3 i t}}\end{array}\right. \) ,можно было бы сразу записать общее решение исходной системы, пользуясь формулами \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot \operatorname{Re}\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)\right)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot \operatorname{Im}\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)\right)} \\ {y(t)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot \operatorname{Re}\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)\right)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot \operatorname{Im}\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)\right)}\end{array}\right. \)

    Где \(\ \operatorname{Re}(z) \), \(\ \operatorname{Im}(z) \) – действительная и мнимая части комплексного числа z соответственно.

  • Ответ \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+5 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t} \\ {y(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \cos t+\left(3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \sin 3 t}\end{array}\right. \)

    3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение однородной системы дифференциальных уравнений \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=2 x+y} \\ {\frac{d y}{d t}=4 y-x}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Составляем характеристическое уравнение заданной системы: \(\ \left|\begin{array}{cc}{2-\lambda} &

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \\ {-1} & {4-\lambda}\end{array}\right|=0 \Rightarrow(2-\lambda)(4-\lambda)+1=0 \Rightarrow 8-6 \lambda+\lambda^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1=0 \Rightarrow\lambda^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -6 \lambda+9=0 \Rightarrow(\lambda-3)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \)

    Таким образом, получаем, что корнями характеристического уравнения есть \(\ \lambda_{1,2}=3 \)

    Тогда решение следует искать в виде (5) - \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_{4} t\right) e^{3 t}}\end{array}\right. \)

    Подставляем записанное решение в первое уравнение исходной системы: \(\ \left(\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}\right)^{\prime}=2 \cdot\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}+\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_{4} t\right) e^{3 t} \)

    \(\ C_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{3 t}+3\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}=2 \cdot\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}+\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_{4} t\right) e^{3 t} | : e^{3 t}>0 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t=2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t+C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_{4} t \)

    Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим следующую систему: \(\ \left\{\begin{array}{l}{3 C_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C_{4},} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =C_{4},} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{C_{4}=C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \\ {C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\end{array}\right.\right.\right. \)

    Выразили коэффициенты функции-решения \(\ y(t) \) через коэффициенты функции \(\ x(t) \)

    Итак, искомое общее решение рассматриваемой системы: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}}\end{array}\right. \)

    Замечание. Решение (5) можно было подставить во второе уравнение системы и получить аналогичное решение.

  • Ответ\(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}} \\ {y(t)=\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t\right) e^{3 t}}\end{array}\right. \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы