Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства биссектрисы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса угла треугольника - луч, который исходит из вершины треугольника и делит этот угол пополам.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром треугольника.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса треугольника - это сегмент биссектрисы угла треугольника, соединяющего вершину с точкой, расположенной на противоположной стороне.

  • Свойства биссектрисы угла треугольника

    1. Биссектриса разделяет противоположную сторону на части, пропорциональные смежным сторонам:

    \(\ \frac{C L}{L B}=\frac{A C}{A B} \)

    2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром круга, вписанного в этот треугольник.

    3. Биссектрисой угла является локус точек, равноудаленных от сторон этого угла.

    4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

    5. В регулярном треугольнике биссектриса является медианной и высотой.

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задача.

    В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) со стороной \(\ AB=5 \mathrm{см} \) мы провели биссектрису \(\ \mathrm{AL} \), которая разделила сторону \(\ \mathrm{BC} \) на сегменты \(\ B L=3 \mathrm{см} \) и \(\ \mathrm{LC}=6 \mathrm{см} \). Найдите сторону \(\ \mathrm{AC} \).

  • Решение

    Биссектриса \(\ \mathrm{AL} \) делит противоположную сторону на части, пропорциональные смежным сторонам:

    \(\ \frac{L C}{B L}=\frac{A C}{A B} \)

    Если мы заменим данные из условия проблемы на последнее равенство, получим следующую пропорцию

    \(\ \frac{6}{3}=\frac{A C}{5} \)

    отсюда

    \(\ A C=\frac{6 \cdot 5}{3}=10 \mathrm{см} \)

  • Ответ

    \(\ A C=10 \mathrm{смв} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \), в котором \(\ \angle A=50^{\circ} \) , биссектрисы углов \(\ B \) и \(\ C \) пересекаются в точке \(\ O \). Найдите угол \(\ \mathrm{BOC} \).

  • Решение.

    Сумма углов в любом треугольнике равна \(\ 180^{\circ} \) , что означает

    \(\ \angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle A=130^{\circ} \)

    Рассмотрим треугольник \(\ \mathrm{BOC} \). Поскольку \(\ BK \) и \(\ \mathrm{CL} \) являются биссектрисами углов \(\ B \) и \(\ C \),

    \(\ \angle O B C+\angle O C B=\frac{130^{\circ}}{2}=75^{\circ} \)

    Отсюда следует, что \(\ \angle B O C=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ} \) .

  • Ответ

    \(\ \angle B O C=105^{\circ} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ