Свойства касательных к окружности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Касательной называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Свойства касательной к окружности
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
\(\
A C \perp O A
\)
2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: \(\
A C=B C
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Из точки \(\
C
\) к окружности проведены две касательные, касающиеся ее в точках \(\
A
\) и \(\
B
\). Угол \(\
AOB
\) \(\
105^{\circ}
\) . Найти угол \(\
A C B
\).
Рассмотрим образовавшийся четырехугольник \(\
\mathrm{ACBO}
\), в котором \(\
\angle A=\angle B=90^{\circ}
\) (т.к. \(\
O A
\) и \(\
\mathrm{OB}
\) – радиусы, проведенные в точку касания). Сумма углов любого четырехугольника равна \(\
360^{\circ}
\) , поэтому
\(\
\angle C=360^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle O=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}
\)
\(\
\angle C=75^{\circ}
\)
ПРИМЕР 2
Хорда \(\
\Delta C
\) стягивает дугу окружности в \(\
80^{\circ}
\) . В точке \(\
A
\) проведена касательная к этой окружности. Найти величину угла между касательной и хордой.
Хорда \(\
\Delta C
\) стягивает дугу окружности в \(\
80^{\circ}
\) значит центральный угол, который на нее опирается \(\
\angle A O C=80^{\circ}
\) . \(\
\mathrm{AOC}
\) – равнобедренный (т.к. \(\
0.4
\) и \(\
O C
\) – радиусы окружности), а значит
\(\
\angle O A C=\angle O C A=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}
\)
Радиус \(\
O A
\) образует с касательной прямой угол (по свойству касательной), следовательно,
\(\
\angle C A B=180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}
\)
\(\
\angle C A B=40^{\circ}
\)