Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические формулы понижения степени

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формулы понижения степени – это тригонометрические формулы позволяющие перейти от степеней тригонометрических функций к функциям в первой степени, но от кратного аргумента.

Формулы понижения степени для квадрата

Чаще всего на практике используются формулы понижения степени для квадрата: \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1-\cos 2 \alpha) \); \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1+\cos 2 \alpha) \)

Формулы (1) напрямую следуют из формул косинуса двойного угла: \(\ \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha \quad \Rightarrow \quad 2 \sin ^{2} \alpha=1-\cos 2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \)

\(\ \cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow 2 \cos ^{2} \alpha=1+\cos 2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \)

Формулы понижения степени для куба косинуса или синуса \(\ \sin ^{3} \alpha=\frac{1}{4} \cdot(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha) \cos ^{3} \alpha=\frac{1}{4} \cdot(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha) \)

Вывести эти формулы можно двумя способами.

Первый способ. Формулы (2) напрямую следуют из тригонометрических функций тройного угла:

\(\ \sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha \Rightarrow 4 \sin ^{3} \alpha=3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha \Rightarrow \sin ^{3} \alpha=\frac{(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha)}{4} \)

\(\ \cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha \Rightarrow 4 \cos ^{3} \alpha=3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha \Rightarrow \sin ^{3} \alpha=\frac{(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha)}{4} \)

Второй способ. Формулы понижения степени (2) можно вывести, используя формулы (1) и формулы произведения тригонометрических функций. Рассмотрим третью степень синуса

\(\ \sin ^{3} \alpha=\sin \alpha \cdot \sin ^{2} \alpha \)

Применим одну из формул (1) \(\ \sin ^{3} \alpha=\sin \alpha \cdot \sin ^{2} \alpha=\sin \alpha \cdot \frac{(1-\cos 2 \alpha)}{2}=\frac{1}{2} \cdot(\sin \alpha-\sin \alpha \cos 2 \alpha) \) далее применим формулу произведения синусов:\(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha-\beta)+\sin (\alpha+\beta)}{2} \sin ^{3} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(\sin \alpha-\sin \alpha \cos 2 \alpha)=\frac{1}{2} \cdot\left(\sin \alpha-\frac{\sin (-\alpha)}{2}-\frac{\sin 3 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\sin \alpha+\frac{\sin \alpha}{2}-\frac{\sin 3 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{3 \sin \alpha}{2}-\frac{\sin 3 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{4}(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha) \)

Аналогично, \(\ \cos ^{3} \alpha=\cos \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha=\cos \alpha \cdot \frac{(1+\cos 2 \alpha)}{2}=\frac{1}{2} \cdot(\cos \alpha+\cos \alpha \cos 2 \alpha) \) далее применим формулу произведения косинусов: \(\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)}{2} \cos ^{3} \alpha=\cos \frac{1}{2} \cdot(\cos \alpha+\cos \alpha \cos 2 \alpha)=\frac{1}{2} \cdot\left(\cos \alpha+\frac{\cos (-\alpha)}{2}+\frac{\cos 3 \alpha}{2}\right)= =\frac{1}{2} \cdot\left(\cos \alpha+\frac{\cos \alpha}{2}+\frac{\cos 3 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{3 \cos \alpha}{2}+\frac{\cos 3 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{4}(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha) \)

Формулы понижения степени для четвертой степени косинуса или синуса \(\ \sin ^{4} \alpha=\frac{1}{8} \cdot(\cos 4 \alpha-4 \cos 2 \alpha+3) \cdot \cos ^{4} \alpha=\frac{1}{8} \cdot(\cos 4 \alpha+4 \cos 2 \alpha+3) \)

Эти формулы доказываются применением к ним дважды формул (1):

\(\ \sin ^{4} \alpha=\left(\sin ^{2} \alpha\right)^{2}=\left(\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 \alpha+\cos ^{2} 2 \alpha\right)= \frac{1}{4}\left(1-2 \cos 2 \alpha+\frac{1+\cos 4 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-\frac{4 \cos 2 \alpha}{2}+\frac{\cos 4 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{8}(\cos 4 \alpha-4 \cos 2 \alpha+3) \)

\(\ \cos ^{4} \alpha=\left(\cos ^{2} \alpha\right)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 \alpha+\cos ^{2} 2 \alpha\right)= \frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 \alpha+\frac{1+\cos 4 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+\frac{4 \cos 2 \alpha}{2}+\frac{\cos 4 \alpha}{2}\right)=\frac{1}{8}(\cos 4 \alpha+4 \cos 2 \alpha+3) \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Понизить степень следующих выражений 1) \(\ \cos ^{2} 4 x \) 2)\(\ \sin ^{2} 3 x \)

  • Решение

    1) Воспользуемся формулой понижения степени для квадрата косинуса \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1+\cos 2 \alpha) \) , получим: \(\ \cos ^{2} 4 x=\frac{1+\cos 2 \cdot 4 x}{2}=\frac{1+\cos 8 x}{2} \)

    2) Применим формулы понижения степени для синуса \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1-\cos 2 \alpha) \sin ^{2} 3 x=\frac{1-\cos 2 \cdot 3 x}{2}=\frac{1-\cos 6 x}{2} \)

  • Ответ: 1. \(\ \cos ^{2} 4 x=\frac{1+\cos 8 x}{2} \) 2. \(\ \sin ^{2} 3 x=\frac{1-\cos 6 x}{2} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Вычислить, используя формулы понижения степени

    1) \(\ \sin ^{2} \frac{\pi}{8} \)

    2)\(\ \cos ^{2} \frac{\pi}{12} \)

  • Решение

    1) \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1-\cos 2 \alpha) \) Учитывая, что \(\ \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) , окончательно имеем: \(\ \sin ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{1}{2} \cdot\left(1-\cos \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{4} \)

    2) Применим к исходному выражению формулу понижения \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1+\cos 2 \alpha) \) , получим: \(\ \cos ^{2} \frac{\pi}{12}=\frac{1}{2} \cdot\left(1+\cos 2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(1+\cos \frac{\pi}{6}\right) \)

    Так как \(\ \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \) , то окончательно \(\ \cos ^{2} \frac{\pi}{12}=\frac{1}{2} \cdot\left(1+\cos \frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \)

  • Ответ\(\ \sin ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{4} \); \(\ \cos ^{2} \frac{\pi}{12}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Доказать тождество \(\ 2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\cos \alpha=1 \)

  • Решение

    По формуле понижения степени \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1}{2} \cdot(1-\cos 2 \alpha) \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) \Rightarrow \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos \alpha) \Rightarrow 2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha \)

    Подставим полученное выражение в исходное тождество \(\ 1-\cos \alpha+\cos \alpha=1 \quad \Rightarrow \quad 1=1 \)

    Что и требовалось доказать.

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ