Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические неравенства и их решения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида: \(\ \sin x < a \), \(\ \cos x < a \), \(\ \operatorname{tg} x < a \), \(\ \operatorname{ctg} x < a \), \(\ \sin x > a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname{tg} x > a \), \(\ \operatorname{ctg} x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname{tg} x \leq a \), \(\ \operatorname{ctg} x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname{tg} x \geq a \), \(\ \operatorname{tg} x \geq a \)

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла \(\ \alpha \) есть ординатой точки \(\ P_{\alpha}(x, y) \) единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Рис. 1

Примеры решения тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Решить неравенство \(\ \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Решениеd

    Поскольку \(\ \left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right|<1 \)

    , то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами

    Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса \(\ y=\sin x \) (рис. 2) и прямой \(\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

    Рис. 2

    Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой \(\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} \) . Найдем абсциссы \(\ x_{1} \) и \(\ x_{2} \) точек пересечения этих графиков: \(\ x_{1}=\pi-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} x_{2}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2 \pi=\frac{\pi}{3}+2 \pi=\frac{7 \pi}{3} \)

    Получили интервал \(\ \left[-\frac{4 \pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right] \) но так как функцию \(\ y=\sin x \) периодическая и имеет период \(\ 2 \pi \) , то ответом будет объединение интервалов: \(\ \left[\frac{2 \pi}{3}+2 \pi k ; \frac{7 \pi}{3}+2 \pi k\right] \), \(\ k \in Z \)

    Второй способ. Построим единичную окружность и прямую \(\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} \) , точки их пересечения обозначим \(\ P_{x_{1}} \) и \(\ P_{x_{2}} \) (рис. 3). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше \(\ \frac{\sqrt{3}}{2} \) . Найдем значение \(\ \boldsymbol{I}_{1} \) и \(\ \boldsymbol{I}_{2} \) , совершая обход против часовой стрелки, \(\ x_{1} < x_{2} \)

    Рис. 3

    \(\ x_{1}=\pi-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} x_{2}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2 \pi=\frac{\pi}{3}+2 \pi=\frac{7 \pi}{3} \)

    Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы \(\ \left[\frac{2 \pi}{3}+2 \pi k ; \frac{7 \pi}{3}+2 \pi\right] \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x \in\left[\frac{2 \pi}{3}+2 \pi k ; \frac{7 \pi}{3}+2 \pi\right] \), \(\ k \in Z \)

  • Задание

    Решить неравенство \(\ \sin x>2 \)

  • Решение

    Синус – функция ограниченная: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

  • Ответ: решений нет.

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Решить неравенство \(\ \cos x>\frac{1}{2} \)

  • Решение

    Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

    Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть \(\ y=\cos x \) и \(\ y=\frac{1}{2} \) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус \(\ y=\cos x \) расположен выше графика прямой \(\ y=\frac{1}{2} \) (рис. 4).

    Рис. 4

    Найдем абсциссы точек \(\ \boldsymbol{x}_{1} \) и \(\ x_{2} \) – точек пересечения графиков функций \(\ y=\cos x \) и \(\ y=\frac{1}{2} \) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство. \(\ x_{1}=-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi}{3} \); \(\ x_{1}=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} \)

    Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом \(\ 2 \pi \) , ответом будет значения \(\ x \) из промежутков \(\ \left(-\frac{\pi}{3}+2 \pi k ; \frac{\pi}{3}+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

    Рис. 5

    Второй способ. Построим единичную окружность и прямую \(\ x=\frac{1}{2} \) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим \(\ P_{x_{1}} \) и \(\ P_{x_{2}} \) (рис. 5) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше \(\ \frac{1}{2} \) . Найдем значение \(\ x_{1} \) и \(\ 2 \) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы \(\ x_{1} < x_{2} \) : \(\ x_{1}=-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi}{3} \); \(\ x_{1}=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} \)

    Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы \(\ \left(-\frac{\pi}{3}+2 \pi k ; \frac{\pi}{3}+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)

  • Ответ: \(\ x \in\left(-\frac{\pi}{3}+2 \pi k ; \frac{\pi}{3}+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

    ПРИМЕР 4

  • Задание

    Решить неравенство \(\ \operatorname{ctg} x \leq-\frac{\sqrt{3}}{3} \)

  • Решение

    Построим в одной системе координат графики функций \(\ y=\operatorname{ctg} x \), \(\ y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \)

    Выделим промежутки, на которых график функции \(\ y=\operatorname{ctg} x \) расположен не выше графика прямой \(\ y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \) (рис. 6).

    Рис. 6

    Найдем абсциссу точки \(\ x_{0} \) , которая является концом одного из промежутков, на котором неравенство \(\ x_{0}=\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi-\operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} \)

    Другим концом этого промежутка есть точка \(\ \pi \) , а функция \(\ y=\operatorname{ctg} x \) в этой точке неопределенна. Таким образом, одним из решением данного неравенства является промежуток \(\ \frac{2 \pi}{3} \leq x < \pi \) . Учитывая, что котангенс функция периодическая, с периодом \(\ \pi \) , то окончательно получим \(\ \left[\frac{2 \pi}{3}+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ:\(\ x \in\left[\frac{2 \pi}{3}+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

    Тригонометрические неравенства со сложным аргументом

    Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    Решить неравенство \(\ 2 \cos \left(2 x+100^{\circ}\right) \leq-1 \)

  • Решение

    Выразим в правой части данного неравенства косинус: \(\ \cos \left(2 x+100^{\circ}\right) \leq-\frac{1}{2} \)

    Ведем замену \(\ t=2 x+100^{\circ} \) , после чего данное неравенство преобразуется к простейшему неравенству \(\ \cos t \leq-\frac{1}{2} \)

    Рис. 7

    Решим его, используя единичную окружность. Построим единичный круг и прямую \(\ x=-\frac{1}{2} \) . Обозначим \(\ P_{1} \) и \(\ P_{2} \) – точки пересечения прямой и единичной окружности (рис. 7).

    Решением исходного неравенства будет множество точек абсциссы, которых не больше \(\ -\frac{1}{2} \). Точке \(\ P_{1} \) соответствует угол \(\ 120^{\circ} \) , а точке \(\ P_{2} \) . Таким образом, учитывая период косинуса, получим \(\ 120^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \leq t \leq 240^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \), \(\ n \in Z \)

    Сделаем обратную замену \(\ t=2 x+100^{\circ} 120^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \leq 2 x+100^{\circ} \leq 240^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \), \(\ n \in Z \)

    Выразим \(\ \mathbf{x} \), для сначала этого из каждой части неравенства вычтем \(\ 100^{\circ} 120^{\circ}-100^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \leq 2 x+100^{\circ}-100^{\circ} \leq 240^{\circ}-100^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \), \(\ n \in Z \); \(\ 20^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \leq 2 x \leq 140^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \), \(\ n \in Z \)

    а затем, разделим на 2 \(\ \frac{20^{\circ}+360^{\circ} \cdot n}{2} \leq \frac{2 x}{2} \leq \frac{140^{\circ}+360^{\circ} \cdot n}{2} \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^{\circ}+180^{\circ} \cdot n \leq x \leq 70^{\circ}+180^{\circ} \cdot n \), \(\ n \in Z \)

  • Ответ\(\ x \in\left(10^{\circ}+180^{\circ} \cdot n ; 10^{\circ}+180^{\circ} \cdot n\right) \), \(\ x \in\left(10^{\circ}+180^{\circ} \cdot n ; 10^{\circ}+180^{\circ} \cdot n\right) \)

    Двойные тригонометрические неравенства

    ПРИМЕР 6

  • Задание

    Решить двойное тригонометрическое неравенство \(\ \frac{1}{2}<\sin \frac{x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \)

  • Решение

    Введем замену \(\ t=\frac{x}{2} \) , тогда исходное неравенство примет вид \(\ \frac{1}{2}<\sin t \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \)

    Рис. 8

    Решим его, используя единичную окружность. Так как на единичной окружности синусу соответствует ось ординат, выделим на ней множество ординаты которых больше \(\ x=\frac{1}{2} \) и меньше или равно \(\ \frac{\sqrt{2}}{2} \) . На рисунке 8 эти точки будут расположены на дугах \(\ P_{t_{1}} \), \(\ P_{t_{2}} \) и \(\ P_{t_{3}} \), \(\ P_{t_{4}} \) . Найдем значение \(\ t_{1} \), \(\ t_{2} \), \(\ t_{3} \), \(\ t_{4} \) , совершая обход против часовой стрелки, причем \(\ t_{1} < t_{2} \), \(\ t_{3} < t_{4} \) : \(\ t_{1}=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \); \(\ t_{2}=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4} \)

    \(\ t_{3}=\pi-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \); \(\ t_{4}=\pi-\arcsin \frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} \)

    Таким образом, получаем два интервала, которые, учитывая периодичность функции синус, можно записать следующим образом \(\ \frac{\pi}{6}+2 \pi k \leq t \frac{\pi}{4}+2 \pi k \quad \frac{3 \pi}{4}+2 \pi k < t \leq \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Сделаем обратную замену \(\ t=\frac{x}{2} \frac{\pi}{6}+2 \pi k \leq \frac{x}{2} \frac{\pi}{4}+2 \pi k \), \(\ \frac{3 \pi}{4}+2 \pi k<\frac{x}{2} \leq \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Выразим \(\ \mathbf{x} \), для этого умножим все стороны обои неравенств на 2, получим \(\ \frac{\pi}{3}+4 \pi k \leq x<\frac{\pi}{2}+4 \pi k \); \(\ \frac{3 \pi}{2}+4 \pi k < x \leq \frac{5 \pi}{3}+4 \pi k \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x \in\left(\frac{\pi}{3}+4 \pi k ; \frac{\pi}{2}+4 \pi k\right] \cup\left[\frac{3 \pi}{2}+4 \pi k ; \frac{5 \pi}{3}+4 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ