Уравнение диффузии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.
Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).
Уравнение диффузии в одномерном случае
Уравнение диффузии в одномерном случае в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика:
где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.
Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.
Уравнение диффузии в трехмерном случае
В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:
где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:
Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где — дифференциальный оператор Лапласа.
В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:
где c(x, t) — концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.
Решение уравнения диффузии
Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:
1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества
2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу
где n – внутренняя нормаль к поверхности S;
3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:
В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:
с начальным условием
Тогда уравнение (5) имеет решение вида:
x' — текущая координата интегрирования.
Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти массу газа с молярной плотностью , прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен .Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы .
Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:
Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1):
Зная, что , где средняя длина свободного пробега молекулы, средняя скорость молекулы газа и она равна:
Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:
Искомая масса газа может быть найдена по формуле:
Найти распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда (c(o,t)=0), если начальное распределение концентрации вещества:
Уравнение диффузии
рис. 1
Из условий задачи следует, что необходимо найти решение уравнения диффузии , удовлетворяющее начальному условию: и граничному условию: c(o,t)=0.
Решение может быть найдено из фундаментального решения уравнения теплопроводности:
где
Перепишем (2.1) в виде:
Удовлетворяя граничному условию, будем иметь:
Условие будет выполнено, если
Подставим (2.4) в (2.2) получим:
Зная, что начальная концентрация постоянна и равна c_0, то из (2.5) получим:
Разобьем интеграл на два слагаемых и введем новые переменные интегрирования:
получим:
или
где
— интеграл ошибок.
Распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда при заданных условиях имеет вид: