Узнать цену работы
Статьи по теме

Уравнение диффузии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика: где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где — дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

где c(x, t) — концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу

где n – внутренняя нормаль к поверхности S;

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

с начальным условием

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

x' — текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти массу газа с молярной плотностью , прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен .Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы .

  • Решение

    Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:

    Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1):

    Зная, что , где средняя длина свободного пробега молекулы, средняя скорость молекулы газа и она равна:

    Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:

  • Ответ

    Искомая масса газа может быть найдена по формуле:

  • Задание

    Найти распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда (c(o,t)=0), если начальное распределение концентрации вещества:

    Уравнение диффузии

    рис. 1

  • Решение

    Из условий задачи следует, что необходимо найти решение уравнения диффузии , удовлетворяющее начальному условию: и граничному условию: c(o,t)=0.

    Решение может быть найдено из фундаментального решения уравнения теплопроводности:

    где

    Перепишем (2.1) в виде:

    Удовлетворяя граничному условию, будем иметь:

    Условие будет выполнено, если

    Подставим (2.4) в (2.2) получим:

    Зная, что начальная концентрация постоянна и равна c_0, то из (2.5) получим:

    Разобьем интеграл на два слагаемых и введем новые переменные интегрирования:

    получим:

    или

    где

    — интеграл ошибок.

  • Ответ

    Распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда при заданных условиях имеет вид:

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ